Номер 4, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

4. Какие построения можно выполнить геометрической линейкой; циркулем?

Геометрические построения с помощью циркуля и линейки — это классический раздел евклидовой геометрии. Важно понимать, что под "линейкой" подразумевается идеальный инструмент без делений (односторонний), который позволяет только проводить прямые линии, а циркуль также считается идеальным.

Возможности инструментов

Инструменты позволяют выполнять следующие элементарные (базовые) построения:

1. С помощью геометрической линейки:
   • Провести прямую линию, проходящую через две заданные точки.
   • Продолжить любой отрезок неограниченно в обе стороны, получив прямую.
   Важно: линейка не позволяет измерять длину или откладывать отрезки заданной длины, так как на ней нет шкалы.
2. С помощью циркуля:
   • Построить окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку.
   • Отложить от данной точки на данной прямой отрезок, равный данному (установив раствор циркуля равным длине исходного отрезка).

Основные виды построений с помощью линейки и циркуля

Комбинируя эти простые операции, можно решать множество более сложных задач на построение. Вот некоторые из основных:

• Построение серединного перпендикуляра к отрезку. Это позволяет найти середину отрезка.
• Построение прямой, перпендикулярной данной и проходящей через заданную точку (как лежащую на прямой, так и вне её).
• Построение прямой, параллельной данной и проходящей через заданную точку.
• Построение биссектрисы угла. Это позволяет разделить угол на две равные части.
• Построение угла, равного данному.
• Построение треугольника по различным наборам элементов (например, по трём сторонам, по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум прилежащим углам).
• Деление отрезка на $n$ равных частей, где $n$ — любое натуральное число (с помощью теоремы Фалеса).
• Арифметические операции над отрезками. Если есть отрезки с длинами $a$ и $b$, можно построить отрезки с длинами:
  • $a + b$ (сложение)
  • $|a - b|$ (вычитание)
  • $a \cdot b$ (умножение, требуется единичный отрезок)
  • $a / b$ (деление, требуется единичный отрезок)
  • $\sqrt{a}$ (извлечение квадратного корня, требуется единичный отрезок)
• Построение правильных многоугольников. Можно построить правильный треугольник, квадрат, пятиугольник, шестиугольник. Карл Фридрих Гаусс доказал, что правильный $n$-угольник можно построить с помощью циркуля и линейки тогда и только тогда, когда $n$ является произведением степени 2 и различных простых чисел Ферма (простых чисел вида $2^{2^k}+1$). Например, можно построить 17-угольник, 257-угольник, но нельзя построить 7-угольник, 9-угольник или 11-угольник.

Ограничения построений

Несмотря на широкий спектр решаемых задач, существуют и знаменитые "неразрешимые" задачи древности, которые невозможно решить, используя только циркуль и линейку:

1. Трисекция угла: деление произвольного угла на три равные части (хотя для некоторых частных случаев, например, для угла $90^\circ$, это возможно).
2. Удвоение куба: построение ребра куба, объём которого в два раза больше объёма данного куба.
3. Квадратура круга: построение квадрата, площадь которого равна площади данного круга.

Невозможность этих построений была строго доказана в XIX веке с помощью теории Галуа, которая связывает геометрические построения с алгебраическими свойствами чисел.

Ответ: С помощью геометрической линейки и циркуля можно выполнять все построения, которые сводятся к нахождению точек пересечения прямых и окружностей, что алгебраически соответствует решению линейных и квадратных уравнений. Это включает в себя такие фундаментальные задачи, как построение серединного перпендикуляра, перпендикулярных и параллельных прямых, биссектрис углов, деление отрезка на любое число равных частей, выполнение всех четырех арифметических действий и извлечение квадратного корня над длинами отрезков, а также построение некоторых правильных многоугольников (например, 3, 4, 5, 6, 15, 17-угольников). Однако, такие задачи, как трисекция произвольного угла, удвоение куба и квадратура круга, в общем случае неразрешимы этими инструментами.