Номер 694, страница 200 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

694. У правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ ребра основания равны 1, боковые ребра — 2. Найдите угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой:

а) $AB_1$;

в) $BC_1$;

д) $AC_1$;

ж) $BF_1$;

б) $BD_1$;

г) $BE_1$;

е) $BA_1$;

з) $B_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре нижнего основания призмы $O(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $OA$, ось $Oy$ — перпендикулярно $OA$ в плоскости основания, а ось $Oz$ — вдоль бокового ребра $AA_1$.

В основании призмы лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Расстояние от центра до любой вершины равно стороне, то есть 1. Углы между радиус-векторами, проведенными из центра к соседним вершинам, равны $360^\circ/6 = 60^\circ$. Высота призмы (длина боковых ребер) равна 2. Найдем координаты вершин.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

• $A = (1 \cdot \cos(0^\circ), 1 \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершин верхнего основания ($z=2$):

• $A_1 = (1, 0, 2)$
• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $C_1 = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$
• $D_1 = (-1, 0, 2)$
• $E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$
• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$

Найдем уравнение плоскости $ACD_1$. Для этого определим два вектора, лежащие в этой плоскости, например, $\vec{AC}$ и $\vec{AD_1}$.
$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 2 - 0) = (-2, 0, 2)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACD_1$ перпендикулярен обоим этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -2 & 0 & 2 \end{vmatrix} = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2 - 0) - \vec{j}(-\frac{3}{2} \cdot 2 - 0) + \vec{k}(-\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2)) = \sqrt{3}\vec{i} + 3\vec{j} + \sqrt{3}\vec{k} = (\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.
Для упрощения вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив все координаты на $\sqrt{3}$: $\vec{n} = (1, \sqrt{3}, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $ax+by+cz+d=0$. Подставим координаты вектора нормали: $1 \cdot x + \sqrt{3} \cdot y + 1 \cdot z + d = 0$. Для нахождения $d$ подставим в уравнение координаты точки $A(1, 0, 0)$, принадлежащей плоскости: $1 \cdot 1 + \sqrt{3} \cdot 0 + 1 \cdot 0 + d = 0 \implies d = -1$.
Таким образом, уравнение плоскости $ACD_1$: $x + \sqrt{3}y + z - 1 = 0$.

Угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле: $\sin(\alpha) = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{s}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{s}|}$.
Найдем модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

а) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $AB_1$.

Направляющий вектор прямой $AB_1$: $\vec{s}_a = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_a| = \sqrt{(-1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_a = 1 \cdot (-1/2) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 2 = -1/2 + 3/2 + 2 = 3$.
Синус угла: $\sin(\alpha_a) = \frac{|3|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\arcsin(3/5)$.

б) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $BD_1$.

Направляющий вектор прямой $BD_1$: $\vec{s}_б = D_1 - B = (-1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_б| = \sqrt{(-3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_б = 1 \cdot (-3/2) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 2 = -3/2 - 3/2 + 2 = -1$.
Синус угла: $\sin(\alpha_б) = \frac{|-1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{35}}$.

Ответ: $\arcsin(1/\sqrt{35})$.

в) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $BC_1$.

Направляющий вектор прямой $BC_1$: $\vec{s}_в = C_1 - B = (-1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (-1, 0, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_в| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_в = 1 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot 0 + 1 \cdot 2 = -1 + 2 = 1$.
Синус угла: $\sin(\alpha_в) = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\arcsin(1/5)$.

г) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $BE_1$.

Направляющий вектор прямой $BE_1$: $\vec{s}_г = E_1 - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_г| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{1+3+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_г = 1 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 2 = -1 - 3 + 2 = -2$.
Синус угла: $\sin(\alpha_г) = \frac{|-2|}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{2}{2\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $\arcsin(1/\sqrt{10})$.

д) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $AC_1$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$: $\vec{s}_д = C_1 - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 2 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_д| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_д = 1 \cdot (-3/2) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 2 = -3/2 + 3/2 + 2 = 2$.
Синус угла: $\sin(\alpha_д) = \frac{|2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{2}{\sqrt{35}}$.

Ответ: $\arcsin(2/\sqrt{35})$.

е) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $BA_1$.

Направляющий вектор прямой $BA_1$: $\vec{s}_е = A_1 - B = (1 - 1/2, 0 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_е| = \sqrt{(1/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 2^2} = \sqrt{1/4 + 3/4 + 4} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_е = 1 \cdot (1/2) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2) + 1 \cdot 2 = 1/2 - 3/2 + 2 = 1$.
Синус угла: $\sin(\alpha_е) = \frac{|1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\arcsin(1/5)$.

ж) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $BF_1$.

Направляющий вектор прямой $BF_1$: $\vec{s}_ж = F_1 - B = (1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 2 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_ж| = \sqrt{0^2 + (-\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{3+4} = \sqrt{7}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_ж = 1 \cdot 0 + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot 2 = -3 + 2 = -1$.
Синус угла: $\sin(\alpha_ж) = \frac{|-1|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{7}} = \frac{1}{\sqrt{35}}$.

Ответ: $\arcsin(1/\sqrt{35})$.

з) Найдем угол между плоскостью $ACD_1$ и прямой $B_1E$.

Направляющий вектор прямой $B_1E$: $\vec{s}_з = E - B_1 = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2, 0 - 2) = (-1, -\sqrt{3}, -2)$.
Модуль этого вектора: $|\vec{s}_з| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + (-2)^2} = \sqrt{1+3+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.
Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{s}_з = 1 \cdot (-1) + \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}) + 1 \cdot (-2) = -1 - 3 - 2 = -6$.
Синус угла: $\sin(\alpha_з) = \frac{|-6|}{\sqrt{5} \cdot 2\sqrt{2}} = \frac{6}{2\sqrt{10}} = \frac{3}{\sqrt{10}}$.

Ответ: $\arcsin(3/\sqrt{10})$.