Номер 689, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

689. Найдите координаты тех точек на сфере с центром $Q$ и радиусом $R$, которые наиболее близки и наиболее удалены от прямой $AB$, если:

а) $A (0; 6; -1)$, $B (6; 0; -4)$, $Q (2; -2; 1)$ и $R = 3$;

б) $A (4; 1; 1)$, $B (-11; 1; 0)$, $Q (-2; 1; 0)$ и $R = 3$.

Точки на сфере, наиболее близкие и наиболее удаленные от прямой, лежат в плоскости, проходящей через центр сферы $Q$ и прямую $AB$. Эти точки находятся на прямой, проходящей через центр сферы $Q$ и перпендикулярной прямой $AB$.

Общий алгоритм решения:

1. Найти направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $AB$.
2. Записать параметрические уравнения прямой $AB$.
3. Найти координаты точки $H$ — проекции центра сферы $Q$ на прямую $AB$. Точка $H$ лежит на прямой $AB$, и вектор $\vec{QH}$ перпендикулярен направляющему вектору $\vec{s}$ (их скалярное произведение равно нулю).
4. Вычислить расстояние $d$ от центра сферы до прямой как длину вектора $\vec{QH}$: $d = |\vec{QH}|$.
5. Сравнить расстояние $d$ с радиусом сферы $R$.
   • Если $d > R$, прямая не пересекает сферу. Существует одна ближайшая и одна наиболее удаленная точка.
   • Если $d = R$, прямая касается сферы. Ближайшая точка — это точка касания, $H$. Наиболее удаленная точка — диаметрально противоположная точке $H$.
   • Если $d < R$, прямая пересекает сферу в двух точках. Эти две точки и являются ближайшими к прямой (расстояние равно 0). Наиболее удаленная точка одна.
6. Найти координаты искомых точек. Ближайшая ($M_1$) и наиболее удаленная ($M_2$) точки находятся по формулам $M_1 = Q + R \cdot \frac{\vec{HQ}}{|\vec{HQ}|}$ и $M_2 = Q - R \cdot \frac{\vec{HQ}}{|\vec{HQ}|}$, или $M_{ближ} = Q + R \cdot \frac{\vec{QH}}{|\vec{QH}|}$ и $M_{удал} = Q - R \cdot \frac{\vec{QH}}{|\vec{QH}|}$ в случае $d > R$. В случае $d < R$ ближайшие точки — точки пересечения, а наиболее удаленная точка — та же, что и при $d > R$.

а) $A(0; 6; -1)$, $B(6; 0; -4)$, $Q(2; -2; 1)$ и $R=3$.

1. Находим направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{s} = \vec{AB} = (6-0; 0-6; -4-(-1)) = (6; -6; -3)$. Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный ему вектор, разделив координаты на 3: $\vec{s'} = (2; -2; -1)$.

2. Запишем параметрические уравнения прямой $AB$, используя точку $A(0; 6; -1)$ и вектор $\vec{s'}$: $x = 0 + 2t = 2t$
$y = 6 - 2t$
$z = -1 - t$

3. Пусть $H(2t; 6-2t; -1-t)$ — точка на прямой $AB$, являющаяся основанием перпендикуляра из точки $Q(2; -2; 1)$. Вектор $\vec{QH}$ имеет координаты: $\vec{QH} = (2t - 2; 6 - 2t - (-2); -1 - t - 1) = (2t - 2; 8 - 2t; -2 - t)$.

4. Вектор $\vec{QH}$ должен быть перпендикулярен вектору $\vec{s'}$, следовательно, их скалярное произведение равно нулю: $\vec{QH} \cdot \vec{s'} = 0$
$(2t - 2) \cdot 2 + (8 - 2t) \cdot (-2) + (-2 - t) \cdot (-1) = 0$
$4t - 4 - 16 + 4t + 2 + t = 0$
$9t - 18 = 0$
$t = 2$

5. Подставив $t=2$ в параметрические уравнения прямой, находим координаты точки $H$: $x_H = 2 \cdot 2 = 4$
$y_H = 6 - 2 \cdot 2 = 2$
$z_H = -1 - 2 = -3$
Итак, $H(4; 2; -3)$.

6. Находим вектор $\vec{QH}$ и его длину $d$: $\vec{QH} = (4-2; 2-(-2); -3-1) = (2; 4; -4)$. $d = |\vec{QH}| = \sqrt{2^2 + 4^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6$.

7. Так как $d=6 > R=3$, прямая не пересекает сферу. Наиболее близкая и наиболее удаленная точки лежат на прямой, проходящей через $Q$ и $H$. Единичный вектор в направлении $\vec{QH}$ равен $\vec{u} = \frac{\vec{QH}}{|\vec{QH}|} = \frac{1}{6}(2; 4; -4) = (\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; -\frac{2}{3})$. Наиболее близкая к прямой точка $M_1$ находится на расстоянии $|d-R| = |6-3| = 3$ от прямой. Ее координаты: $M_1 = Q - (d-R)\vec{u} = Q + R\vec{u} = (2; -2; 1) + 3(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; -\frac{2}{3}) = (2; -2; 1) + (1; 2; -2) = (3; 0; -1)$. Наиболее удаленная от прямой точка $M_2$ находится на расстоянии $d+R = 6+3=9$ от прямой. Ее координаты: $M_2 = Q - R\vec{u} = (2; -2; 1) - 3(\frac{1}{3}; \frac{2}{3}; -\frac{2}{3}) = (2; -2; 1) - (1; 2; -2) = (1; -4; 3)$.

Ответ: Наиболее близкая точка: $(3; 0; -1)$, наиболее удаленная точка: $(1; -4; 3)$.

б) $A(4; 1; 1)$, $B(-11; 1; 0)$, $Q(-2; 1; 0)$ и $R=3$.

1. Находим направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{s} = \vec{AB} = (-11-4; 1-1; 0-1) = (-15; 0; -1)$.

2. Запишем параметрические уравнения прямой $AB$, используя точку $A(4; 1; 1)$: $x = 4 - 15t$
$y = 1$
$z = 1 - t$

3. Пусть $H(4 - 15t; 1; 1 - t)$ — проекция точки $Q(-2; 1; 0)$ на прямую. Вектор $\vec{QH}$ имеет координаты: $\vec{QH} = (4 - 15t - (-2); 1 - 1; 1 - t - 0) = (6 - 15t; 0; 1 - t)$.

4. Из условия перпендикулярности $\vec{QH} \perp \vec{s}$: $\vec{QH} \cdot \vec{s} = 0$
$(6 - 15t) \cdot (-15) + 0 \cdot 0 + (1 - t) \cdot (-1) = 0$
$-90 + 225t - 1 + t = 0$
$226t - 91 = 0$
$t = \frac{91}{226}$

5. Находим расстояние $d$ от $Q$ до прямой $AB$: $\vec{QH} = (6 - 15 \cdot \frac{91}{226}; 0; 1 - \frac{91}{226}) = (\frac{1356 - 1365}{226}; 0; \frac{226 - 91}{226}) = (-\frac{9}{226}; 0; \frac{135}{226})$. $d^2 = |\vec{QH}|^2 = (-\frac{9}{226})^2 + 0^2 + (\frac{135}{226})^2 = \frac{81 + 18225}{226^2} = \frac{18306}{51076} = \frac{81 \cdot 226}{226^2} = \frac{81}{226}$. $d = \sqrt{\frac{81}{226}} = \frac{9}{\sqrt{226}}$.

6. Сравниваем $d$ и $R$: $d^2 = \frac{81}{226} \approx 0.358$, а $R^2 = 3^2 = 9$. Так как $d < R$, прямая пересекает сферу.

7. Наиболее близкие точки. В этом случае наиболее близкие к прямой точки — это точки пересечения прямой и сферы. Расстояние от них до прямой равно 0. Найдем их, подставив параметрические уравнения прямой в уравнение сферы. Уравнение сферы: $(x - (-2))^2 + (y-1)^2 + (z-0)^2 = 3^2 \Rightarrow (x+2)^2 + (y-1)^2 + z^2 = 9$. Подставляем прямую: $((4-15t)+2)^2 + (1-1)^2 + (1-t)^2 = 9$. $(6-15t)^2 + (1-t)^2 = 9$ $36 - 180t + 225t^2 + 1 - 2t + t^2 = 9$ $226t^2 - 182t + 28 = 0$ $113t^2 - 91t + 14 = 0$ Решаем квадратное уравнение: $D = (-91)^2 - 4 \cdot 113 \cdot 14 = 8281 - 6328 = 1953$. $t_{1,2} = \frac{91 \pm \sqrt{1953}}{226}$. Подставляем $t_1$ и $t_2$ в уравнения прямой для нахождения координат точек: $C_1$ (для $t_1 = \frac{91 - \sqrt{1953}}{226}$):
$x_1 = 4 - 15(\frac{91 - \sqrt{1953}}{226}) = \frac{904 - 1365 + 15\sqrt{1953}}{226} = \frac{-461 + 15\sqrt{1953}}{226}$
$y_1 = 1$
$z_1 = 1 - (\frac{91 - \sqrt{1953}}{226}) = \frac{226 - 91 + \sqrt{1953}}{226} = \frac{135 + \sqrt{1953}}{226}$
$C_2$ (для $t_2 = \frac{91 + \sqrt{1953}}{226}$):
$x_2 = 4 - 15(\frac{91 + \sqrt{1953}}{226}) = \frac{904 - 1365 - 15\sqrt{1953}}{226} = \frac{-461 - 15\sqrt{1953}}{226}$
$y_2 = 1$
$z_2 = 1 - (\frac{91 + \sqrt{1953}}{226}) = \frac{226 - 91 - \sqrt{1953}}{226} = \frac{135 - \sqrt{1953}}{226}$

8. Наиболее удаленная точка. Эта точка лежит на прямой, проходящей через $Q$ и $H$, на расстоянии $d+R$ от прямой $AB$. Единичный вектор $\vec{u} = \frac{\vec{QH}}{d} = \frac{\sqrt{226}}{9}(-\frac{9}{226}; 0; \frac{135}{226}) = \frac{1}{\sqrt{226}}(-1; 0; 15)$. Координаты наиболее удаленной точки $M$: $M = Q - R\vec{u} = (-2; 1; 0) - 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{226}}(-1; 0; 15) = (-2 + \frac{3}{\sqrt{226}}; 1; -\frac{45}{\sqrt{226}})$. Рационализируя знаменатель: $M = (-2 + \frac{3\sqrt{226}}{226}; 1; -\frac{45\sqrt{226}}{226})$.

Ответ: Наиболее близкие точки: $(\frac{-461 + 15\sqrt{1953}}{226}; 1; \frac{135 + \sqrt{1953}}{226})$ и $(\frac{-461 - 15\sqrt{1953}}{226}; 1; \frac{135 - \sqrt{1953}}{226})$.
Наиболее удаленная точка: $(-2 + \frac{3\sqrt{226}}{226}; 1; -\frac{45\sqrt{226}}{226})$.