Номер 687, страница 199 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

687. Из точки $M$ проведены все касательные к сфере с центром $Q$ и радиусом $R$. Запишите уравнение плоскости, в которой находятся точки касания, если:

a) $M (0; 2; 3)$, $Q (2; -2; 1)$ и $R = 3$;

б) $M (10; 1; 2)$, $Q (-2; 1; 7)$ и $R = 5$.

Множество всех точек касания образует окружность, которая лежит в плоскости. Эта плоскость называется полярой точки $M$ относительно сферы. Уравнение этой плоскости для сферы с центром $Q(x_Q; y_Q; z_Q)$ и радиусом $R$ и точки $M(x_M; y_M; z_M)$ имеет вид:

$(x_M - x_Q)(x - x_Q) + (y_M - y_Q)(y - y_Q) + (z_M - z_Q)(z - z_Q) = R^2$

а)

Дано: $M(0; 2; 3)$, $Q(2; -2; 1)$ и $R = 3$.

Подставим координаты точек $M$ и $Q$, а также значение $R^2 = 3^2 = 9$ в общую формулу:

$(0 - 2)(x - 2) + (2 - (-2))(y - (-2)) + (3 - 1)(z - 1) = 9$

Упростим полученное выражение:

$-2(x - 2) + 4(y + 2) + 2(z - 1) = 9$

$-2x + 4 + 4y + 8 + 2z - 2 = 9$

$-2x + 4y + 2z + 10 = 9$

$-2x + 4y + 2z + 1 = 0$

Умножим уравнение на $-1$, чтобы получить стандартный вид с положительным коэффициентом при $x$:

$2x - 4y - 2z - 1 = 0$

Ответ: $2x - 4y - 2z - 1 = 0$

б)

Дано: $M(10; 1; 2)$, $Q(-2; 1; 7)$ и $R = 5$.

Подставим координаты точек $M$ и $Q$, а также значение $R^2 = 5^2 = 25$ в общую формулу:

$(10 - (-2))(x - (-2)) + (1 - 1)(y - 1) + (2 - 7)(z - 7) = 25$

Упростим полученное выражение:

$12(x + 2) + 0(y - 1) - 5(z - 7) = 25$

$12x + 24 - 5z + 35 = 25$

$12x - 5z + 59 = 25$

$12x - 5z + 34 = 0$

Ответ: $12x - 5z + 34 = 0$