Номер 3, страница 203 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

3. Какая фигура является геометрическим местом точек, из которых данный отрезок виден под прямым углом; данный отрезок виден под данным углом, отличным от развернутого?

данный отрезок виден под прямым углом

Рассмотрим геометрическое место точек, из которых заданный отрезок $AB$ виден под прямым углом. Это множество всех точек $C$ в плоскости, для которых угол $\angle ACB$ равен $90^\circ$.

Ключевым свойством для решения этой задачи является теорема, связанная со вписанными углами: угол, вписанный в окружность и опирающийся на её диаметр, является прямым. Верно и обратное: если из некоторой точки отрезок виден под прямым углом, то эта точка лежит на окружности, построенной на данном отрезке как на диаметре.

Таким образом, искомым геометрическим местом точек является окружность, для которой данный отрезок служит диаметром. Центр этой окружности находится в середине отрезка, а её радиус равен половине его длины.

Важно отметить, что сами концы отрезка, точки $A$ и $B$, не входят в это геометрическое место, так как в этих точках угол $\angle ACB$ не определён.

Ответ: Окружность, построенная на данном отрезке как на диаметре, за исключением концов этого отрезка.

данный отрезок виден под данным углом, отличным от развернутого

Рассмотрим более общую задачу: найти геометрическое место точек, из которых данный отрезок $AB$ виден под заданным углом $\alpha$, где $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Это множество всех точек $C$, таких что $\angle ACB = \alpha$.

Это геометрическое место точек основывается на свойстве постоянства вписанных углов. Все вписанные углы, которые опираются на одну и ту же хорду $AB$ и вершины которых лежат по одну сторону от прямой $AB$, равны между собой. Следовательно, все точки $C$, удовлетворяющие условию, будут лежать на дуге некоторой окружности, для которой $AB$ является хордой.

Поскольку такие точки могут находиться по обе стороны от прямой, содержащей отрезок $AB$, полное геометрическое место точек будет состоять из двух дуг окружностей, симметричных друг другу относительно прямой $AB$.

Каждая из этих дуг является частью окружности, проходящей через точки $A$ и $B$. Если $\alpha = 90^\circ$, эти две дуги сливаются в полную окружность, как было рассмотрено в предыдущем пункте. Если $\alpha \ne 90^\circ$, то это будут две отдельные дуги, образующие вместе искомую фигуру.

Концы отрезка $A$ и $B$ исключаются из этого множества, так как для них угол не определён.

Ответ: Объединение двух дуг окружностей, имеющих данный отрезок в качестве общей хорды и симметричных относительно прямой, содержащей этот отрезок. Концы отрезка в это множество не входят.