Номер 674, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

674. Четыре компланарных вектора одинаковой длины в сумме дают нулевой вектор. Докажите, что это две пары противоположных векторов.

Пусть даны четыре компланарных вектора $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ и $\vec{d}$.

По условию задачи они имеют одинаковую длину, которую мы обозначим как $L$. Можно считать, что $L > 0$, так как в случае $L=0$ все векторы нулевые и утверждение тривиально выполняется.$|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = L$

Также по условию их сумма равна нулевому вектору:$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$

Наша задача — доказать, что эти векторы образуют две пары противоположных векторов, то есть, после возможной перестановки, $\vec{c} = -\vec{a}$ и $\vec{d} = -\vec{b}$.

Доказательство:

1. Перепишем равенство суммы векторов, сгруппировав их попарно. Возможны три варианта группировки:

• $\vec{a} + \vec{b} = -(\vec{c} + \vec{d})$
• $\vec{a} + \vec{c} = -(\vec{b} + \vec{d})$
• $\vec{a} + \vec{d} = -(\vec{b} + \vec{c})$

2. Возведем обе части каждого равенства в квадрат (что эквивалентно нахождению квадрата модуля вектора в каждой части). Так как $|-\vec{v}| = |\vec{v}|$, получаем:

• $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{c} + \vec{d}|^2$
• $|\vec{a} + \vec{c}|^2 = |\vec{b} + \vec{d}|^2$
• $|\vec{a} + \vec{d}|^2 = |\vec{b} + \vec{c}|^2$

3. Раскроем квадраты модулей, используя скалярное произведение ($|\vec{v}|^2 = \vec{v} \cdot \vec{v}$):

• $|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2 = |\vec{c}|^2 + 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + |\vec{d}|^2$
• $|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{d}) + |\vec{d}|^2$
• $|\vec{a}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) + |\vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + |\vec{c}|^2$

4. Учитывая, что модули всех векторов равны $L$, эти равенства упрощаются:

• $L^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) + L^2 = L^2 + 2(\vec{c} \cdot \vec{d}) + L^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{c} \cdot \vec{d}$ (1)
• $L^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{c}) + L^2 = L^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{d}) + L^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d}$ (2)
• $L^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{d}) + L^2 = L^2 + 2(\vec{b} \cdot \vec{c}) + L^2 \implies \vec{a} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ (3)

5. Теперь умножим скалярно исходное уравнение $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d} = \vec{0}$ на вектор $\vec{a}$:

$\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} + \vec{d}) = \vec{a} \cdot \vec{0} = 0$

$\vec{a} \cdot \vec{a} + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} = 0$

$L^2 + \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{a} \cdot \vec{d} = 0$ (4)

6. Рассмотрим три вектора, являющиеся попарными суммами: $\vec{S} = \vec{a} + \vec{b}$, $\vec{T} = \vec{a} + \vec{c}$ и $\vec{U} = \vec{a} + \vec{d}$. Покажем, что эти три вектора взаимно ортогональны. Для этого найдем их попарные скалярные произведения:

• $\vec{S} \cdot \vec{T} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{c}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{c}$. Используя (3), заменим $\vec{b}\cdot\vec{c}$ на $\vec{a}\cdot\vec{d}$. Получим: $L^2 + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{d}$. Согласно равенству (4), это выражение равно 0. Значит, $\vec{S} \cdot \vec{T} = 0$.
• $\vec{S} \cdot \vec{U} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} + \vec{d}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{d} + \vec{b}\cdot\vec{a} + \vec{b}\cdot\vec{d}$. Используя (2), заменим $\vec{b}\cdot\vec{d}$ на $\vec{a}\cdot\vec{c}$. Получим: $L^2 + \vec{a}\cdot\vec{d} + \vec{a}\cdot\vec{b} + \vec{a}\cdot\vec{c}$. Согласно равенству (4), это выражение равно 0. Значит, $\vec{S} \cdot \vec{U} = 0$.
• $\vec{T} \cdot \vec{U} = (\vec{a} + \vec{c}) \cdot (\vec{a} + \vec{d}) = \vec{a}\cdot\vec{a} + \vec{a}\cdot\vec{d} + \vec{c}\cdot\vec{a} + \vec{c}\cdot\vec{d}$. Используя (1), заменим $\vec{c}\cdot\vec{d}$ на $\vec{a}\cdot\vec{b}$. Получим: $L^2 + \vec{a}\cdot\vec{d} + \vec{a}\cdot\vec{c} + \vec{a}\cdot\vec{b}$. Согласно равенству (4), это выражение равно 0. Значит, $\vec{T} \cdot \vec{U} = 0$.

7. Мы получили, что векторы $\vec{S}$, $\vec{T}$ и $\vec{U}$ взаимно ортогональны. По условию исходные векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ компланарны, то есть лежат в одной плоскости. Следовательно, их линейные комбинации $\vec{S}, \vec{T}, \vec{U}$ также лежат в этой плоскости.

Система из трех взаимно ортогональных векторов в одной плоскости может существовать только если как минимум два из этих векторов являются нулевыми. Более строго: если предположить, что $\vec{S} \neq \vec{0}$ и $\vec{T} \neq \vec{0}$, то так как они ортогональны, они образуют базис в плоскости. Любой вектор $\vec{U}$ в этой плоскости можно представить как $\vec{U} = c_1\vec{S} + c_2\vec{T}$. Из условий $\vec{U} \cdot \vec{S} = 0$ и $\vec{U} \cdot \vec{T} = 0$ следует, что $c_1=0$ и $c_2=0$, а значит $\vec{U}=\vec{0}$. Таким образом, не могут быть ненулевыми более двух векторов из тройки $\vec{S}, \vec{T}, \vec{U}$. Отсюда следует, что как минимум один из этих векторов равен нулю.

8. Пусть, без ограничения общности, $\vec{T} = \vec{0}$. (Если нулевым оказался другой вектор, например $\vec{S}$, мы можем просто переименовать векторы $\vec{b}$ и $\vec{c}$).

$\vec{T} = \vec{a} + \vec{c} = \vec{0}$

Из этого равенства следует, что $\vec{c} = -\vec{a}$.

9. Подставим результат $\vec{a} + \vec{c} = \vec{0}$ в исходное условие суммы:

$(\vec{a} + \vec{c}) + (\vec{b} + \vec{d}) = \vec{0}$

$\vec{0} + (\vec{b} + \vec{d}) = \vec{0}$

$\vec{b} + \vec{d} = \vec{0}$

Отсюда следует, что $\vec{d} = -\vec{b}$.

Таким образом, мы доказали, что четыре исходных вектора разбиваются на две пары противоположных векторов: $(\vec{a}, \vec{c})$ и $(\vec{b}, \vec{d})$, где $\vec{c}=-\vec{a}$ и $\vec{d}=-\vec{b}$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четыре компланарных вектора одинаковой длины, сумма которых равна нулевому вектору, представляют собой две пары противоположных векторов.