Номер 669, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

669. В пространстве отмечены точки A, B, C, D. Какую фигуру образуют все такие точки M, для которых:

а) $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} + x\vec{AD}$, $0 \le x \le 1$;

б) $\vec{AM} = \vec{AB} + x\vec{BC} + y\vec{AD}$, $0 \le x \le 1,0 \le y \le 1$;

в) $\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{BC} + z\vec{AD}$, $0 \le x \le 1,0 \le y \le 1,0 \le z \le 1$?

а) Рассмотрим векторное равенство $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} + x\vec{AD}$ при $0 \le x \le 1$.

Используя правило сложения векторов (правило треугольника), мы можем упростить сумму $\vec{AB} + \vec{BC}$:$\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Подставив это в исходное уравнение, получим:$\vec{AM} = \vec{AC} + x\vec{AD}$.

Это уравнение можно переписать как $\vec{AM} - \vec{AC} = x\vec{AD}$. По правилу вычитания векторов, левая часть равна $\vec{CM}$. Таким образом, мы приходим к равенству:$\vec{CM} = x\vec{AD}$.

Это параметрическое уравнение отрезка прямой. Чтобы найти концы этого отрезка, подставим граничные значения параметра $x$.

При $x = 0$ получаем $\vec{CM} = 0 \cdot \vec{AD} = \vec{0}$. Это означает, что точка $M$ совпадает с точкой $C$.

При $x = 1$ получаем $\vec{CM} = \vec{AD}$. Это означает, что точка $M$ (обозначим её $D'$) такова, что вектор, идущий из $C$ в $D'$, равен вектору $\vec{AD}$.

Поскольку $x$ изменяется от 0 до 1, точка $M$ пробегает все точки на отрезке, соединяющем $C$ и $D'$.

Ответ: Отрезок $CD'$, где $D'$ — точка, для которой выполняется равенство $\vec{CD'} = \vec{AD}$.

б) Рассмотрим векторное равенство $\vec{AM} = \vec{AB} + x\vec{BC} + y\vec{AD}$ при $0 \le x \le 1$ и $0 \le y \le 1$.

Перепишем равенство, перенеся $\vec{AB}$ в левую часть:$\vec{AM} - \vec{AB} = x\vec{BC} + y\vec{AD}$.

По правилу вычитания векторов, $\vec{AM} - \vec{AB} = \vec{BM}$. Таким образом, уравнение принимает вид:$\vec{BM} = x\vec{BC} + y\vec{AD}$.

Это выражение задает множество точек $M$, положение которых определяется линейной комбинацией векторов $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, отложенных от точки $B$. Поскольку коэффициенты $x$ и $y$ независимо изменяются от 0 до 1, это множество точек образует параллелограмм.

Вершины этого параллелограмма соответствуют граничным значениям параметров $x$ и $y$:

• При $x=0, y=0$: $\vec{BM} = \vec{0}$, следовательно, $M$ совпадает с $B$.
• При $x=1, y=0$: $\vec{BM} = \vec{BC}$, следовательно, $M$ совпадает с $C$.
• При $x=0, y=1$: $\vec{BM} = \vec{AD}$. Обозначим эту точку $D'$. Тогда $\vec{BD'} = \vec{AD}$.
• При $x=1, y=1$: $\vec{BM} = \vec{BC} + \vec{AD}$. Обозначим эту точку $C'$.

Фигура, образованная точками $M$, является параллелограммом с вершинами $B, C, C', D'$.

Ответ: Параллелограмм, построенный на векторах $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, отложенных от точки $B$.

в) Рассмотрим векторное равенство $\vec{AM} = x\vec{AB} + y\vec{BC} + z\vec{AD}$ при $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1, 0 \le z \le 1$.

В этом уравнении вектор $\vec{AM}$ представлен как линейная комбинация трех векторов $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$ с коэффициентами $x, y, z$, которые независимо друг от друга пробегают значения в отрезке $[0, 1]$.

Такое векторное уравнение задает параллелепипед. Этот параллелепипед можно представить как фигуру, построенную на трех векторах, выходящих из одной точки. В данном случае, точкой начала является $A$, а векторами, на которых строится фигура, являются $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$. Чтобы это увидеть, мы можем представить, что все три вектора отложены от точки $A$.

Вершины параллелепипеда соответствуют восьми комбинациям граничных значений $x, y, z$ (0 или 1):

• $(x,y,z) = (0,0,0) \implies \vec{AM} = \vec{0} \implies M = A$.
• $(x,y,z) = (1,0,0) \implies \vec{AM} = \vec{AB} \implies M = B$.
• $(x,y,z) = (0,0,1) \implies \vec{AM} = \vec{AD} \implies M = D$.
• $(x,y,z) = (1,1,0) \implies \vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC} \implies M = C$.

Остальные четыре вершины являются концами векторов $\vec{AM}$, равных $\vec{BC}$, $\vec{AB}+\vec{AD}$, $\vec{BC}+\vec{AD}$ и $\vec{AB}+\vec{BC}+\vec{AD}$.

Ребрами параллелепипеда, выходящими из вершины $A$, являются отрезки, соответствующие векторам $\vec{AB}$ (при $y=0, z=0$), вектору, равному $\vec{BC}$ (при $x=0, z=0$), и вектору $\vec{AD}$ (при $x=0, y=0$).

Ответ: Параллелепипед, построенный на трех векторах $\vec{AB}$, $\vec{BC}$ и $\vec{AD}$, отложенных от точки $A$ как от общей вершины.