Номер 675, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

675. Из точки Q, взятой внутри выпуклого n-угольника, провели лучи, пересекающие стороны многоугольника или их продолжения под прямыми углами. На каждом луче от точки Q отложили вектор $\vec{a}_i$, длина которого равна длине соответствующей стороны. Докажите, что $\vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \dots + \vec{a}_n = \vec{0}$.

Обозначим вершины выпуклого $n$-угольника как $A_1, A_2, \dots, A_n$ в порядке обхода против часовой стрелки. Стороны многоугольника можно представить в виде векторов $\vec{s_1} = \vec{A_1A_2}$, $\vec{s_2} = \vec{A_2A_3}$, ..., $\vec{s_n} = \vec{A_nA_1}$. Так как многоугольник является замкнутой фигурой, сумма векторов его сторон равна нулевому вектору:

$\sum_{i=1}^{n} \vec{s_i} = \vec{A_1A_2} + \vec{A_2A_3} + \dots + \vec{A_nA_1} = \vec{0}$

Согласно условию задачи, из точки $Q$, расположенной внутри многоугольника, проводятся лучи, перпендикулярные прямым, содержащим стороны многоугольника. Для каждой стороны $\vec{s_i}$ такой луч задает направление. Обозначим единичный вектор, направленный вдоль этого луча, как $\vec{u_i}$. Поскольку точка $Q$ находится внутри выпуклого многоугольника, этот луч направлен от $Q$ к стороне, то есть вовне. Таким образом, $\vec{u_i}$ является единичным вектором внешней нормали к стороне $\vec{s_i}$.

По условию, на каждом луче от точки $Q$ откладывается вектор $\vec{a_i}$, длина которого $|\vec{a_i}|$ равна длине соответствующей стороны $|\vec{s_i}|$. Следовательно, мы можем записать:

$\vec{a_i} = |\vec{s_i}| \cdot \vec{u_i}$

Рассмотрим связь между вектором стороны $\vec{s_i}$ и вектором внешней нормали $\vec{u_i}$. Так как мы обходим многоугольник против часовой стрелки, вектор внешней нормали к стороне $\vec{s_i}$ получается путем поворота вектора $\vec{s_i}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке.

Введем декартову систему координат. Пусть вектор стороны $\vec{s_i}$ имеет координаты $(x_i, y_i)$. Тогда вектор, полученный его поворотом на $90^\circ$ по часовой стрелке, будет иметь координаты $(y_i, -x_i)$.

Единичный вектор в этом направлении, то есть вектор $\vec{u_i}$, равен:

$\vec{u_i} = \frac{(y_i, -x_i)}{\sqrt{y_i^2 + (-x_i)^2}} = \frac{(y_i, -x_i)}{\sqrt{x_i^2 + y_i^2}} = \frac{(y_i, -x_i)}{|\vec{s_i}|}$

Теперь мы можем выразить вектор $\vec{a_i}$ через компоненты вектора $\vec{s_i}$:

$\vec{a_i} = |\vec{s_i}| \cdot \vec{u_i} = |\vec{s_i}| \cdot \frac{(y_i, -x_i)}{|\vec{s_i}|} = (y_i, -x_i)$

Это означает, что каждый вектор $\vec{a_i}$ является результатом поворота соответствующего вектора стороны $\vec{s_i}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Обозначим оператор такого поворота как $R_{-90^\circ}$. Тогда $\vec{a_i} = R_{-90^\circ}(\vec{s_i})$.

Теперь найдем сумму векторов $\vec{a_i}$:

$\sum_{i=1}^{n} \vec{a_i} = \sum_{i=1}^{n} R_{-90^\circ}(\vec{s_i})$

Поскольку поворот является линейным преобразованием, оператор поворота можно вынести за знак суммы:

$\sum_{i=1}^{n} \vec{a_i} = R_{-90^\circ}\left(\sum_{i=1}^{n} \vec{s_i}\right)$

Как мы установили в начале, сумма векторов сторон замкнутого многоугольника равна нулевому вектору: $\sum_{i=1}^{n} \vec{s_i} = \vec{0}$.

Подставляя это в наше выражение, получаем:

$\sum_{i=1}^{n} \vec{a_i} = R_{-90^\circ}(\vec{0}) = \vec{0}$

Таким образом, мы доказали, что $\vec{a_1} + \vec{a_2} + \dots + \vec{a_n} = \vec{0}$.

Ответ: Утверждение доказано, $\vec{a}_1 + \vec{a}_2 + \dots + \vec{a}_n = \vec{0}$.