Номер 677, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

677. Ребра $AD$ и $BC$ основания пирамиды $SABCD$ параллельны, точки $M$ и $N$ выбраны на ребрах $SA$ и $SC$ так, что $SM : MA = 1 : 2$, $SN : NC = 2 : 1$. Учитывая, что $BC = 3AD$, найдите, в каком отношении плоскость $MNB$ делит ребро $SD$.

Для решения задачи воспользуемся методом следов (построением сечения). Искомая точка является точкой пересечения секущей плоскости $MNB$ с ребром $SD$. Обозначим эту точку $P$. Наша цель — найти отношение $SP:PD$.

1. Построение следа секущей плоскости на плоскости основания.

Точки $M$ и $N$ лежат на ребрах $SA$ и $SC$ соответственно, а значит, прямая $MN$ лежит в плоскости боковой грани $SAC$. Прямая $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а также в плоскости $SAC$. Найдем точку пересечения прямых $MN$ и $AC$.

В треугольнике $SAC$ отношения $SM:MA = 1:2$ и $SN:NC = 2:1$ не равны, следовательно, прямые $MN$ и $AC$ не параллельны и пересекаются в некоторой точке $K$.

Для нахождения положения точки $K$ на прямой $AC$ применим теорему Менелая к треугольнику $SAC$ и секущей $KMN$:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{CN}{NS} \cdot \frac{SM}{MA} = 1 $$

Подставим известные из условия отношения:

$$ \frac{SM}{MA} = \frac{1}{2}, \quad \frac{SN}{NC} = \frac{2}{1} \implies \frac{CN}{NS} = \frac{1}{2} $$

Получаем:

$$ \frac{AK}{KC} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = 1 \implies \frac{AK}{KC} = 4 $$

Точка $K$ лежит на прямой $AC$. Так как отношение $AK/KC > 1$, точка $C$ лежит между точками $A$ и $K$.

Точка $K$ принадлежит прямой $MN$, а значит, лежит в секущей плоскости $MNB$. Точка $K$ также принадлежит прямой $AC$, а значит, лежит в плоскости основания $ABCD$. Точка $B$ по условию также лежит в обеих плоскостях. Следовательно, прямая $BK$ является следом секущей плоскости $MNB$ на плоскости основания $ABCD$.

2. Построение следа секущей плоскости на плоскости грани SAD.

Найдем точку пересечения следа $BK$ с прямой $AD$. Обозначим эту точку $Q$. Точка $Q$ лежит на прямой $AD$, поэтому она принадлежит плоскости грани $SAD$. В то же время точка $Q$ лежит на прямой $BK$, поэтому она принадлежит секущей плоскости $MNB$.

Для нахождения положения точки $Q$ рассмотрим плоскость основания $ABCD$. В ней лежат параллельные прямые $AD$ и $BC$ (по условию) и пересекающиеся в точке $K$ прямые $AC$ и $BQ$.

Поскольку $BC \parallel AD$, то $BC \parallel AQ$. Треугольники $\triangle KBC$ и $\triangle KQA$ подобны по двум углам ($\angle K$ — общий, $\angle KCB = \angle KAD$ как соответственные при параллельных прямых $BC, AQ$ и секущей $AK$).

Из подобия треугольников следует отношение сторон:

$$ \frac{AQ}{BC} = \frac{KA}{KC} $$

Мы ранее нашли, что $KA/KC = 4$. Следовательно:

$$ \frac{AQ}{BC} = 4 \implies AQ = 4 \cdot BC $$

Из условия задачи известно, что $BC = 3AD$. Подставим это в полученное равенство:

$$ AQ = 4 \cdot (3AD) = 12AD $$

Точка $M$ лежит на ребре $SA$, значит, она также принадлежит плоскости $SAD$. Таким образом, точки $M$ и $Q$ лежат и в секущей плоскости $MNB$, и в плоскости грани $SAD$. Следовательно, прямая $MQ$ является следом секущей плоскости на плоскости $SAD$.

3. Определение искомого отношения.

Искомая точка $P$ — это точка пересечения ребра $SD$ со следом $MQ$. Таким образом, точки $M, P, Q$ лежат на одной прямой.

Применим теорему Менелая для треугольника $SAD$ и секущей $QMP$:

$$ \frac{SP}{PD} \cdot \frac{DQ}{QA} \cdot \frac{AM}{MS} = 1 $$

Вычислим отношения, входящие в формулу:

• Из условия $SM:MA = 1:2$, следует, что $\frac{AM}{MS} = \frac{2}{1} = 2$.
• Мы нашли, что $AQ = 12AD$. Так как $Q$ лежит на прямой $AD$, а $AQ > AD$, точка $D$ лежит между $A$ и $Q$ или $A$ лежит между $Q$ и $D$. Анализ построения (или координатный метод) показывает, что точка $A$ находится между $Q$ и $D$. Таким образом, $QD = QA + AD = 12AD + AD = 13AD$.
• Тогда отношение длин отрезков: $\frac{DQ}{QA} = \frac{13AD}{12AD} = \frac{13}{12}$.

Подставляем найденные значения в уравнение теоремы Менелая:

$$ \frac{SP}{PD} \cdot \frac{13}{12} \cdot 2 = 1 $$

$$ \frac{SP}{PD} \cdot \frac{13}{6} = 1 $$

$$ \frac{SP}{PD} = \frac{6}{13} $$

Таким образом, плоскость $MNB$ делит ребро $SD$ в отношении $6:13$, считая от вершины $S$.

Ответ: $SP:PD = 6:13$.