Номер 676, страница 198 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

676. Докажите, что для произвольных точек A, B, C, D верно равенство

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} + \vec{CA} \cdot \vec{BD} = 0.$

Для доказательства данного равенства преобразуем его левую часть. Пусть $A, B, C, D$ — произвольные точки в пространстве. Выберем одну из точек, например $A$, в качестве начала отсчета. Тогда векторы, исходящие из этой точки, будут радиус-векторами для других точек. Обозначим:

$\vec{AB} = \vec{b}$
$\vec{AC} = \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d}$

Теперь выразим все векторы, входящие в доказываемое равенство, через векторы $\vec{b}, \vec{c}$ и $\vec{d}$, используя правило вычитания векторов:

$\vec{AB} = \vec{b}$

$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC} = \vec{d} - \vec{c}$

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$

$\vec{AD} = \vec{d}$

$\vec{CA} = -\vec{AC} = -\vec{c}$

$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{d} - \vec{b}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} + \vec{CA} \cdot \vec{BD} = \vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{d} + (-\vec{c}) \cdot (\vec{d} - \vec{b})$

Раскроем скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}) + (-\vec{c} \cdot \vec{d} + \vec{c} \cdot \vec{b})$

Сгруппируем слагаемые. Учитывая, что скалярное произведение коммутативно (т.е. $\vec{x} \cdot \vec{y} = \vec{y} \cdot \vec{x}$):

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{b}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{d})$

$= (\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d}) + (-\vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}) + (\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{d})$

$= 0 + 0 + 0 = 0$

Левая часть равенства тождественно равна нулю, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.