Номер 664, страница 197 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

664. Нарисуйте треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. Покажите векторы:

а) $\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BC_1} + \vec{B_1B};$

б) $\vec{AN} = \vec{AB} - \vec{CC_1} - \vec{C_1B};$

в) $\vec{AK} = -\vec{B_1B} + \vec{AB} - \vec{AC} - \vec{CC_1};$

г) $\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{B_1A} - \vec{C_1C}.$

Для решения задачи нарисуем треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$. В наших вычислениях мы будем использовать основные свойства векторов в призме и правила их сложения и вычитания.

Основные свойства призмы $ABCA_1B_1C_1$:

• Боковые ребра параллельны и равны, следовательно, соответствующие векторы равны: $\vec{AA_1} = \vec{BB_1} = \vec{CC_1}$.
• Основания являются равными треугольниками, поэтому $\vec{AB} = \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} = \vec{B_1C_1}$, $\vec{AC} = \vec{A_1C_1}$.
• Противоположные векторы: $\vec{XY} = -\vec{YX}$.
• Правило треугольника для сложения векторов: $\vec{XY} + \vec{YZ} = \vec{XZ}$.

Для упрощения данного векторного выражения воспользуемся свойствами векторов в призме. Представим вектор $\vec{BC_1}$ как сумму векторов по правилу параллелограмма (или треугольника), разложив его по ребрам призмы: $\vec{BC_1} = \vec{BB_1} + \vec{B_1C_1}$. В призме $\vec{B_1C_1} = \vec{BC}$. Следовательно, $\vec{BC_1} = \vec{BB_1} + \vec{BC}$.

Подставим это в исходное уравнение:

$\vec{AM} = \vec{AB} + (\vec{BB_1} + \vec{BC}) + \vec{B_1B}$

Сгруппируем слагаемые:

$\vec{AM} = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{BB_1} + \vec{B_1B})$

По правилу треугольника, $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$.

Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{B_1B}$ являются противоположными, поэтому их сумма равна нулевому вектору: $\vec{BB_1} + \vec{B_1B} = \vec{0}$.

Таким образом, выражение упрощается до:

$\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{0} = \vec{AC}$

Это означает, что искомый вектор $\vec{AM}$ совпадает с вектором $\vec{AC}$, а точка $M$ совпадает с вершиной $C$.

Ответ: $\vec{AM} = \vec{AC}$.

Сгруппируем последние два слагаемых, вынеся знак минус за скобки:

$\vec{AN} = \vec{AB} - (\vec{CC_1} + \vec{C_1B})$

По правилу треугольника для сложения векторов, сумма в скобках равна: $\vec{CC_1} + \vec{C_1B} = \vec{CB}$.

Подставим результат обратно в выражение:

$\vec{AN} = \vec{AB} - \vec{CB}$

Вычитание вектора $\vec{CB}$ эквивалентно прибавлению противоположного ему вектора $\vec{BC}$ (т.е. $-\vec{CB} = \vec{BC}$).

$\vec{AN} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Снова применяя правило треугольника, получаем:

$\vec{AN} = \vec{AC}$

Вектор $\vec{AN}$ также совпадает с вектором $\vec{AC}$, а точка $N$ совпадает с вершиной $C$.

Ответ: $\vec{AN} = \vec{AC}$.

Упростим выражение, используя свойства векторов. Во-первых, заменим $-\vec{B_1B}$ на равный ему вектор $\vec{BB_1}$.

$\vec{AK} = \vec{BB_1} + \vec{AB} - \vec{AC} - \vec{CC_1}$

В призме боковые ребра параллельны и равны, поэтому $\vec{BB_1} = \vec{CC_1}$. Заменим $\vec{BB_1}$ на $\vec{CC_1}$:

$\vec{AK} = \vec{CC_1} + \vec{AB} - \vec{AC} - \vec{CC_1}$

Векторы $\vec{CC_1}$ и $-\vec{CC_1}$ являются противоположными и в сумме дают нулевой вектор, поэтому они взаимно уничтожаются:

$\vec{AK} = \vec{AB} - \vec{AC}$

По правилу вычитания векторов, разность $\vec{AB} - \vec{AC}$ равна вектору $\vec{CB}$.

$\vec{AK} = \vec{CB}$

Вектор $\vec{AK}$ — это вектор, который начинается в точке $A$ и равен вектору $\vec{CB}$. Чтобы его показать на рисунке, нужно от точки $A$ отложить вектор, параллельный, равный по длине и сонаправленный с вектором $\vec{CB}$.

Ответ: $\vec{AK} = \vec{CB}$.

Начнем с упрощения последнего слагаемого: $-\vec{C_1C} = \vec{CC_1}$.

$\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{B_1A} + \vec{CC_1}$

Из свойств призмы мы знаем, что $\vec{CC_1} = \vec{BB_1}$. Подставим это в выражение:

$\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{B_1A} + \vec{BB_1}$

Переставим слагаемые, чтобы применить правило треугольника:

$\vec{AL} = \vec{AC} + (\vec{BB_1} + \vec{B_1A})$

Сумма векторов в скобках по правилу треугольника: $\vec{BB_1} + \vec{B_1A} = \vec{BA}$.

Теперь выражение выглядит так:

$\vec{AL} = \vec{AC} + \vec{BA}$

Снова переставим слагаемые для наглядности:

$\vec{AL} = \vec{BA} + \vec{AC}$

Применяя правило треугольника в последний раз, получаем:

$\vec{AL} = \vec{BC}$

Вектор $\vec{AL}$ — это вектор, который начинается в точке $A$ и равен вектору $\vec{BC}$. Чтобы его показать на рисунке, нужно от точки $A$ отложить вектор, параллельный, равный по длине и сонаправленный с вектором $\vec{BC}$.

Ответ: $\vec{AL} = \vec{BC}$.