Номер 12, страница 193 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

12. Какие векторы называются коллинеарными? Какое свойство имеют коллинеарные векторы?

Какие векторы называются коллинеарными?

Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор ($\vec{0}$) по определению считается коллинеарным любому вектору.

Коллинеарные векторы могут быть:

1. Сонаправленными, то есть имеющими одинаковое направление. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$.

2. Противоположно направленными, то есть имеющими противоположные направления. Это обозначается как $\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$.

Ответ: Коллинеарными называются векторы, которые лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Какое свойство имеют коллинеарные векторы?

Основное свойство коллинеарных векторов заключается в том, что если векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны и $\vec{b} \ne \vec{0}$, то существует единственное число $k$ (называемое коэффициентом пропорциональности), такое, что выполняется равенство:

$\vec{a} = k \cdot \vec{b}$

При этом, если $k > 0$, векторы сонаправлены; если $k < 0$ – противоположно направлены. Если $k=0$, то $\vec{a}$ является нулевым вектором.

Из этого основного свойства вытекает свойство пропорциональности координат коллинеарных векторов. Если векторы заданы своими координатами, например, на плоскости $\vec{a} = \{x_1; y_1\}$ и $\vec{b} = \{x_2; y_2\}$ (при $\vec{b} \ne \vec{0}$), то их коллинеарность равносильна выполнению условия пропорциональности их соответствующих координат:

$\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2}$

Данное равенство следует понимать в том смысле, что если одна из координат знаменателя равна нулю (например, $x_2=0$), то для сохранения пропорции и соответствующая координата числителя должна быть равна нулю ($x_1=0$).

Ответ: Основное свойство коллинеарных векторов состоит в том, что их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что для двух коллинеарных векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ найдется такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$.