Номер 697, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

697. Докажите, что:

а) если $ABCD$ — прямоугольник, то для любой точки $X$ плоскости истинно равенство $AX^2 + CX^2 = BX^2 + DX^2$;

б) если для четырех данных точек $A, B, C, D$ плоскости и произвольной ее точки $X$ истинно равенство $AX^2 + CX^2 = BX^2 + DX^2$, то $ABCD$ — прямоугольник.

а)

Докажем, что если $ABCD$ — прямоугольник, то для любой точки $X$ плоскости истинно равенство $AX^2 + CX^2 = BX^2 + DX^2$.

Введем декартову систему координат. Поместим вершину $A$ в начало координат, а стороны $AB$ и $AD$ расположим вдоль осей $Ox$ и $Oy$ соответственно. Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Тогда координаты вершин прямоугольника будут следующими:

• $A(0, 0)$
• $B(a, 0)$
• $D(0, b)$
• $C(a, b)$

Пусть $X$ — произвольная точка на плоскости с координатами $(x, y)$.

Найдем квадраты расстояний от точки $X$ до вершин прямоугольника, используя формулу расстояния между двумя точками $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$:

• $AX^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$
• $CX^2 = (x - a)^2 + (y - b)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2$
• $BX^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$
• $DX^2 = (x - 0)^2 + (y - b)^2 = x^2 + y^2 - 2by + b^2$

Теперь вычислим суммы квадратов расстояний до противолежащих вершин:

$AX^2 + CX^2 = (x^2 + y^2) + (x^2 - 2ax + a^2 + y^2 - 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

$BX^2 + DX^2 = (x^2 - 2ax + a^2 + y^2) + (x^2 + y^2 - 2by + b^2) = 2x^2 + 2y^2 - 2ax - 2by + a^2 + b^2$

Сравнивая полученные выражения, мы видим, что они тождественно равны:

$AX^2 + CX^2 = BX^2 + DX^2$

Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Утверждение доказано.

б)

Докажем, что если для четырех данных точек $A, B, C, D$ плоскости и произвольной ее точки $X$ истинно равенство $AX^2 + CX^2 = BX^2 + DX^2$, то $ABCD$ — прямоугольник.

Пусть точки имеют следующие координаты: $A(x_A, y_A)$, $B(x_B, y_B)$, $C(x_C, y_C)$, $D(x_D, y_D)$. Пусть $X$ — произвольная точка с координатами $(x, y)$.

Запишем данное равенство в координатах:

$(x - x_A)^2 + (y - y_A)^2 + (x - x_C)^2 + (y - y_C)^2 = (x - x_B)^2 + (y - y_B)^2 + (x - x_D)^2 + (y - y_D)^2$

Раскроем скобки:

$(x^2 - 2xx_A + x_A^2 + y^2 - 2yy_A + y_A^2) + (x^2 - 2xx_C + x_C^2 + y^2 - 2yy_C + y_C^2) = (x^2 - 2xx_B + x_B^2 + y^2 - 2yy_B + y_B^2) + (x^2 - 2xx_D + x_D^2 + y^2 - 2yy_D + y_D^2)$

Сгруппируем члены:

$2x^2 - 2x(x_A + x_C) + 2y^2 - 2y(y_A + y_C) + (x_A^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_C^2) = 2x^2 - 2x(x_B + x_D) + 2y^2 - 2y(y_B + y_D) + (x_B^2 + y_B^2 + x_D^2 + y_D^2)$

Сократим $2x^2$ и $2y^2$ и перенесем все члены в левую часть:

$2x(x_B + x_D - x_A - x_C) + 2y(y_B + y_D - y_A - y_C) + (x_A^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_C^2 - x_B^2 - y_B^2 - x_D^2 - y_D^2) = 0$

Это уравнение вида $K_1x + K_2y + K_3 = 0$ должно выполняться для любой точки $(x, y)$ на плоскости. Это возможно только в том случае, если все коэффициенты равны нулю:

1. $K_1 = 2(x_B + x_D - x_A - x_C) = 0 \implies \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{x_B + x_D}{2}$

2. $K_2 = 2(y_B + y_D - y_A - y_C) = 0 \implies \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{y_B + y_D}{2}$

3. $K_3 = x_A^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_C^2 - x_B^2 - y_B^2 - x_D^2 - y_D^2 = 0$

Условия (1) и (2) означают, что координаты середины отрезка $AC$ совпадают с координатами середины отрезка $BD$. Это означает, что диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в одной точке и делятся ею пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм.

Теперь докажем, что этот параллелограмм является прямоугольником. Для этого достаточно показать, что его диагонали равны, то есть $AC^2 = BD^2$.

$AC^2 = (x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 = x_C^2 - 2x_Ax_C + x_A^2 + y_C^2 - 2y_Ay_C + y_A^2$

$BD^2 = (x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2 = x_D^2 - 2x_Bx_D + x_B^2 + y_D^2 - 2y_By_D + y_B^2$

Из условий (1) и (2) $x_A + x_C = x_B + x_D$ и $y_A + y_C = y_B + y_D$. Возведем оба равенства в квадрат:

$x_A^2 + 2x_Ax_C + x_C^2 = x_B^2 + 2x_Bx_D + x_D^2$

$y_A^2 + 2y_Ay_C + y_C^2 = y_B^2 + 2y_By_D + y_D^2$

Сложим эти два равенства:

$(x_A^2 + y_A^2) + (x_C^2 + y_C^2) + 2(x_Ax_C + y_Ay_C) = (x_B^2 + y_B^2) + (x_D^2 + y_D^2) + 2(x_Bx_D + y_By_D)$

Из условия (3) мы знаем, что $x_A^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_C^2 = x_B^2 + y_B^2 + x_D^2 + y_D^2$. Подставив это в предыдущее равенство, получим:

$2(x_Ax_C + y_Ay_C) = 2(x_Bx_D + y_By_D) \implies x_Ax_C + y_Ay_C = x_Bx_D + y_By_D$

Теперь сравним выражения для $AC^2$ и $BD^2$:

$AC^2 = (x_A^2 + y_A^2 + x_C^2 + y_C^2) - 2(x_Ax_C + y_Ay_C)$

$BD^2 = (x_B^2 + y_B^2 + x_D^2 + y_D^2) - 2(x_Bx_D + y_By_D)$

Поскольку правые части этих равенств равны (согласно условию (3) и последнему выведенному равенству), то и левые части равны: $AC^2 = BD^2$.

Параллелограмм с равными диагоналями является прямоугольником. Следовательно, $ABCD$ — прямоугольник.

Ответ: Доказано, что $ABCD$ — прямоугольник.