Номер 699, страница 210 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

699. Напишите уравнение линии, по которой движется точка $M$, если известно, что $MC = 2MF$ и:

а) $C(0; 0)$ и $F(6; 0);$

б) $C(-2; 0)$ и $F(1; 0);$

в) $C(1; -2)$ и $F(-2; 1);$

г) $C(-5; -2)$ и $F(4; 4).$

а)

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Заданы точки $C(0; 0)$ и $F(6; 0)$. Условие задачи: $MC = 2MF$.

Возведем обе части равенства в квадрат, чтобы избавиться от корней в формуле расстояния: $MC^2 = 4MF^2$.

Расстояние $MC$ между точками $M(x; y)$ и $C(0; 0)$ в квадрате равно: $MC^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + y^2$.

Расстояние $MF$ между точками $M(x; y)$ и $F(6; 0)$ в квадрате равно: $MF^2 = (x - 6)^2 + (y - 0)^2 = (x - 6)^2 + y^2$.

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$x^2 + y^2 = 4((x - 6)^2 + y^2)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$x^2 + y^2 = 4(x^2 - 12x + 36 + y^2)$

$x^2 + y^2 = 4x^2 - 48x + 144 + 4y^2$

Перенесем все члены в правую часть:

$0 = 3x^2 - 48x + 3y^2 + 144$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - 16x + y^2 + 48 = 0$

Чтобы привести уравнение к каноническому виду уравнения окружности $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, выделим полный квадрат для переменной $x$:

$(x^2 - 16x + 64) - 64 + y^2 + 48 = 0$

$(x - 8)^2 + y^2 - 16 = 0$

$(x - 8)^2 + y^2 = 16$

Это уравнение окружности с центром в точке $(8; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{16} = 4$.

Ответ: $(x - 8)^2 + y^2 = 16$.

б)

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Заданы точки $C(-2; 0)$ и $F(1; 0)$. Условие: $MC^2 = 4MF^2$.

Расстояние $MC^2 = (x - (-2))^2 + (y - 0)^2 = (x + 2)^2 + y^2$.

Расстояние $MF^2 = (x - 1)^2 + (y - 0)^2 = (x - 1)^2 + y^2$.

Подставим в уравнение:

$(x + 2)^2 + y^2 = 4((x - 1)^2 + y^2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4(x^2 - 2x + 1 + y^2)$

$x^2 + 4x + 4 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4 + 4y^2$

Приведем подобные члены:

$0 = 3x^2 - 12x + 3y^2$

Разделим на 3:

$x^2 - 4x + y^2 = 0$

Выделим полный квадрат для $x$:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + y^2 = 0$

$(x - 2)^2 + y^2 = 4$

Это уравнение окружности с центром в точке $(2; 0)$ и радиусом $R = \sqrt{4} = 2$.

Ответ: $(x - 2)^2 + y^2 = 4$.

в)

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Заданы точки $C(1; -2)$ и $F(-2; 1)$. Условие: $MC^2 = 4MF^2$.

Расстояние $MC^2 = (x - 1)^2 + (y - (-2))^2 = (x - 1)^2 + (y + 2)^2$.

Расстояние $MF^2 = (x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (x + 2)^2 + (y - 1)^2$.

Подставим в уравнение:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4((x + 2)^2 + (y - 1)^2)$

Раскроем скобки:

$x^2 - 2x + 1 + y^2 + 4y + 4 = 4(x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1)$

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4(x^2 + y^2 + 4x - 2y + 5)$

$x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 = 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y + 20$

Приведем подобные члены:

$0 = 3x^2 + 18x + 3y^2 - 12y + 15$

Разделим на 3:

$x^2 + 6x + y^2 - 4y + 5 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 + 6x + 9) - 9 + (y^2 - 4y + 4) - 4 + 5 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 - 8 = 0$

$(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 8$

Это уравнение окружности с центром в точке $(-3; 2)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Ответ: $(x + 3)^2 + (y - 2)^2 = 8$.

г)

Пусть точка $M$ имеет координаты $(x, y)$. Заданы точки $C(-5; -2)$ и $F(4; 4)$. Условие: $MC^2 = 4MF^2$.

Расстояние $MC^2 = (x - (-5))^2 + (y - (-2))^2 = (x + 5)^2 + (y + 2)^2$.

Расстояние $MF^2 = (x - 4)^2 + (y - 4)^2$.

Подставим в уравнение:

$(x + 5)^2 + (y + 2)^2 = 4((x - 4)^2 + (y - 4)^2)$

Раскроем скобки:

$x^2 + 10x + 25 + y^2 + 4y + 4 = 4(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 8y + 16)$

$x^2 + y^2 + 10x + 4y + 29 = 4(x^2 + y^2 - 8x - 8y + 32)$

$x^2 + y^2 + 10x + 4y + 29 = 4x^2 + 4y^2 - 32x - 32y + 128$

Приведем подобные члены:

$0 = 3x^2 - 42x + 3y^2 - 36y + 99$

Разделим на 3:

$x^2 - 14x + y^2 - 12y + 33 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 - 14x + 49) - 49 + (y^2 - 12y + 36) - 36 + 33 = 0$

$(x - 7)^2 + (y - 6)^2 - 52 = 0$

$(x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 52$

Это уравнение окружности с центром в точке $(7; 6)$ и радиусом $R = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$.

Ответ: $(x - 7)^2 + (y - 6)^2 = 52$.