Номер 706, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

706. Найдите геометрическое место:

точек, сумма расстояний которых до двух данных параллельных прямых равна данному отрезку;

точек, разность расстояний которых до двух данных параллельных прямых равна данному отрезку;

концов отрезков, выходящих из данной точки и делящихся данной прямой пополам;

середин отрезков, соединяющих данную точку с данной прямой;

середин хорд, которые высекаются данной окружностью на прямых, проходящих через данную точку;

точек, являющихся основаниями перпендикуляров, проходящих через данную точку, к прямым, проходящим через другую данную точку;

точек, в которых пересекаются прямые, проходящие через две данные точки и пересекающиеся под данным углом;

концов отрезков, которые начинаются на данной окружности, параллельны и равны данному отрезку длиной $a$.

а)

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, и отрезок длиной $S$. Расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ обозначим через $h$. Пусть $M$ – искомая точка, а $d_1$ и $d_2$ – расстояния от точки $M$ до прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. По условию, $d_1 + d_2 = S$.

Рассмотрим три случая:

1. Точка $M$ лежит в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$ (включая сами прямые). В этом случае сумма расстояний от любой такой точки до прямых $l_1$ и $l_2$ постоянна и равна расстоянию между ними. То есть, $d_1 + d_2 = h$.

• Если $S = h$, то любая точка $M$ в полосе между $l_1$ и $l_2$ удовлетворяет условию. Искомое геометрическое место – это полоса, ограниченная прямыми $l_1$ и $l_2$, включая сами прямые.
• Если $S \neq h$, то в этой области таких точек нет.

2. Точка $M$ лежит вне полосы между прямыми $l_1$ и $l_2$. Пусть для определенности $M$ находится по ту же сторону от $l_1$, что и $l_2$. Тогда $d_2 = d_1 - h$ (если $M$ дальше от $l_1$, чем $l_2$) или $d_1 = d_2 - h$. В любом случае, $|d_1 - d_2| = h$. Сумма расстояний будет $d_1 + d_2 = d_1 + (d_1-h) = 2d_1 - h$ (или $d_2 + (d_2-h) = 2d_2-h$). По условию $d_1 + d_2 = S$, получаем $2d_1 - h = S \Rightarrow d_1 = (S+h)/2$ или $2d_2 - h = S \Rightarrow d_2 = (S+h)/2$. Это уравнение задает две прямые, параллельные $l_1$ и $l_2$. Одна из них находится на расстоянии $(S+h)/2$ от $l_1$, а другая на том же расстоянии от $l_2$. Это возможно, только если точка $M$ действительно находится вне полосы, то есть, например, $d_1 > h$. Подставляя $d_1$, получаем $(S+h)/2 > h \Rightarrow S+h > 2h \Rightarrow S > h$. Расстояние от этих новых прямых до ближайшей из исходных прямых ($l_1$ или $l_2$) равно $(S+h)/2 - h = (S-h)/2$.

3. Обобщим результаты:

• Если $S < h$, то таких точек не существует. Искомое ГМТ – пустое множество.
• Если $S = h$, искомое ГМТ – полоса между прямыми $l_1$ и $l_2$, включая сами прямые.
• Если $S > h$, искомое ГМТ – пара прямых, параллельных $l_1$ и $l_2$ и расположенных вне полосы на расстоянии $(S-h)/2$ от ближайшей из данных прямых.

Ответ: Пусть $h$ – расстояние между данными параллельными прямыми, а $S$ – длина данного отрезка. Если $S<h$, то искомое геометрическое место точек (ГМТ) – пустое множество. Если $S=h$, то ГМТ – вся полоса между данными прямыми, включая сами прямые. Если $S>h$, то ГМТ – две прямые, параллельные данным и расположенные симметрично относительно полосы на расстоянии $(S-h)/2$ от неё.

б)

Пусть даны две параллельные прямые $l_1$ и $l_2$, и отрезок длиной $S$. Расстояние между прямыми $l_1$ и $l_2$ обозначим через $h$. Пусть $M$ – искомая точка, а $d_1$ и $d_2$ – расстояния от точки $M$ до прямых $l_1$ и $l_2$ соответственно. По условию, $|d_1 - d_2| = S$.

1. Если точка $M$ лежит вне полосы между прямыми $l_1$ и $l_2$, то разность расстояний $|d_1 - d_2|$ постоянна и равна $h$.

• Если $S = h$, то любая точка $M$ вне полосы (а также на самих прямых $l_1$ и $l_2$) удовлетворяет условию. Искомое ГМТ – это две замкнутые полуплоскости, не содержащие полосу между $l_1$ и $l_2$.
• Если $S \neq h$, то вне полосы таких точек нет.

2. Если точка $M$ лежит в полосе между прямыми $l_1$ и $l_2$, введем систему координат. Пусть $l_1$ – это ось $Ox$ ($y=0$), а $l_2$ – прямая $y=h$. Для точки $M(x, y)$ с $0 \le y \le h$, имеем $d_1 = y$ и $d_2 = h-y$. Условие $|d_1 - d_2| = S$ превращается в $|y - (h-y)| = S$, то есть $|2y - h| = S$. Это дает два уравнения: $2y - h = S$ или $2y - h = -S$. Отсюда $y_1 = (h+S)/2$ и $y_2 = (h-S)/2$. Эти уравнения задают две прямые, параллельные $l_1$ и $l_2$.

• Если $S < h$, то $0 < (h-S)/2 < h/2$ и $h/2 < (h+S)/2 < h$. Обе прямые лежат внутри полосы. Они расположены симметрично относительно средней линии полосы ($y=h/2$) на расстоянии $S/2$ от нее.
• Если $S = h$, то $y_1 = h$ и $y_2 = 0$. Это сами прямые $l_2$ и $l_1$.
• Если $S > h$, то $y_1 > h$ и $y_2 < 0$. Внутри полосы решений нет.

3. Обобщим результаты:

• Если $S > h$, искомое ГМТ – пустое множество.
• Если $S = h$, искомое ГМТ – две замкнутые полуплоскости, ограниченные данными прямыми и не пересекающиеся друг с другом (т.е. вся плоскость за исключением открытой полосы между прямыми).
• Если $S < h$, искомое ГМТ – две прямые, параллельные данным и лежащие внутри полосы на расстоянии $S/2$ от ее средней линии.
• Если $S = 0$, то ГМТ – одна прямая: средняя линия полосы.

Ответ: Пусть $h$ – расстояние между данными параллельными прямыми, а $S$ – длина данного отрезка. Если $S>h$, ГМТ – пустое множество. Если $S=h$, ГМТ – вся плоскость за исключением открытой полосы между данными прямыми. Если $S<h$, ГМТ – пара прямых, параллельных данным и расположенных внутри полосы симметрично относительно ее средней линии на расстоянии $S/2$ от нее.

в)

Пусть $A$ – данная точка, а $l$ – данная прямая. Рассмотрим произвольный отрезок $AB$, выходящий из точки $A$, где $B$ – искомая точка. Пусть $M$ – середина отрезка $AB$. По условию, точка $M$ лежит на прямой $l$.

Для каждой точки $M$ на прямой $l$ существует единственная точка $B$ такая, что $M$ – середина $AB$. Точка $B$ является образом точки $A$ при центральной симметрии относительно точки $M$.

Выразим положение точки $B$ через векторы. Пусть $O$ – начало координат. Тогда $\vec{OM} = (\vec{OA} + \vec{OB}) / 2$. Отсюда $\vec{OB} = 2\vec{OM} - \vec{OA}$. Это соотношение можно переписать как $\vec{OB} - \vec{OA} = 2(\vec{OM} - \vec{OA})$, то есть $\vec{AB} = 2\vec{AM}$.

Это означает, что точка $B$ является образом точки $M$ при гомотетии (преобразовании подобия) с центром в точке $A$ и коэффициентом $k=2$. Поскольку множество всех возможных точек $M$ – это прямая $l$, то искомое множество точек $B$ – это образ прямой $l$ при указанной гомотетии.

Образом прямой при гомотетии является прямая, параллельная исходной.

Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то центр гомотетии лежит на преобразуемой прямой. В этом случае прямая $l$ переходит в себя.

Если точка $A$ не лежит на прямой $l$, то искомая прямая $l'$ параллельна $l$. Пусть $H$ – основание перпендикуляра, опущенного из $A$ на $l$. Точка $H$ лежит на $l$. Её образ $B_H$ при гомотетии будет лежать на прямой $AH$, и $AH=HB_H$. Таким образом, прямая $l$ является серединной линией между точкой $A$ и искомой прямой $l'$. Расстояние от $l'$ до $l$ равно расстоянию от $A$ до $l$.

Ответ: Если данная точка $A$ лежит на данной прямой $l$, то искомое ГМТ – сама прямая $l$. Если точка $A$ не лежит на прямой $l$, то искомое ГМТ – прямая $l'$, параллельная $l$ и расположенная так, что $l$ является средней линией между точкой $A$ и прямой $l'$.

г)

Пусть $A$ – данная точка, а $l$ – данная прямая. Отрезок соединяет точку $A$ с некоторой точкой $B$ на прямой $l$. Мы ищем геометрическое место середин $M$ этих отрезков $AB$.

Для каждой точки $B$ на прямой $l$ мы имеем точку $M$ – середину отрезка $AB$. Из определения середины отрезка следует, что $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$.

Это соотношение означает, что точка $M$ является образом точки $B$ при гомотетии с центром в точке $A$ и коэффициентом $k=1/2$. Множество всех точек $B$ – это прямая $l$. Следовательно, искомое множество точек $M$ – это образ прямой $l$ при данной гомотетии.

Образом прямой при гомотетии является прямая, параллельная исходной.

Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то гомотетия с центром на прямой преобразует эту прямую в себя. Таким образом, искомое ГМТ – это сама прямая $l$.

Если точка $A$ не лежит на прямой $l$, то искомая прямая $m$ параллельна $l$. Чтобы найти ее положение, рассмотрим перпендикуляр $AH$, опущенный из $A$ на $l$. Точка $H$ лежит на $l$. Ее образ $M_H$ при гомотетии является серединой отрезка $AH$. Прямая $m$ проходит через $M_H$ параллельно $l$. Таким образом, искомая прямая является средней линией треугольника, образованного точкой $A$ и двумя точками на прямой $l$, то есть она проходит посередине между точкой $A$ и прямой $l$.

Ответ: Прямая, параллельная данной прямой $l$ и проходящая на полпути между данной точкой $A$ и прямой $l$. Если точка $A$ лежит на прямой $l$, то искомое ГМТ – это сама прямая $l$.

д)

Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$, и точка $A$. Через точку $A$ проводится произвольная прямая $m$, которая пересекает окружность $\omega$ в точках $P$ и $Q$ (если прямая касается окружности, то $P$ и $Q$ совпадают). Мы ищем геометрическое место середин $M$ хорд $PQ$.

Известно свойство окружности: радиус (или его часть), проведенный в середину хорды, перпендикулярен этой хорде. Таким образом, отрезок $OM$ перпендикулярен хорде $PQ$.

Поскольку хорда $PQ$ лежит на прямой $m$, проходящей через $A$, то $OM \perp m$. Это значит, что отрезок $OM$ перпендикулярен прямой $AM$. Следовательно, угол $\angle OMA$ – прямой.

Геометрическое место точек $M$, из которых отрезок $OA$ виден под прямым углом, есть окружность $\gamma$, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре.

Однако, точка $M$ является серединой хорды, поэтому она должна лежать внутри или на окружности $\omega$. То есть расстояние $OM$ не должно превышать радиус $R$ ($OM \le R$).

Рассмотрим различные случаи расположения точки $A$:

• Если точка $A$ лежит внутри окружности $\omega$ ($OA < R$), то любая прямая через $A$ пересекает $\omega$. Окружность $\gamma$ на диаметре $OA$ целиком лежит внутри $\omega$. Значит, все ее точки являются серединами хорд.
• Если точка $A$ лежит на окружности $\omega$ ($OA = R$), окружность $\gamma$ на диаметре $OA$ также целиком лежит внутри $\omega$ (касаясь ее в точке $A$).
• Если точка $A$ лежит вне окружности $\omega$ ($OA > R$), то не все прямые через $A$ пересекают $\omega$. Хорды существуют только для тех прямых, расстояние от которых до центра $O$ не превышает $R$. Это условие ($OM \le R$) означает, что искомые точки $M$ лежат не только на окружности $\gamma$, но и в круге, ограниченном окружностью $\omega$. Таким образом, искомое ГМТ – это та часть окружности $\gamma$, которая находится внутри или на окружности $\omega$.

Ответ: Окружность, построенная на отрезке $OA$ как на диаметре (где $O$ - центр данной окружности, $A$ - данная точка), если точка $A$ лежит внутри или на данной окружности. Если точка $A$ лежит вне данной окружности, то искомое ГМТ – это дуга окружности, построенной на $OA$ как на диаметре, лежащая внутри данной окружности.

е)

Пусть даны две точки $A$ и $B$. Через точку $B$ проходит произвольная прямая $l$. Из точки $A$ на прямую $l$ опущен перпендикуляр $AP$, где $P$ – основание перпендикуляра. Мы ищем геометрическое место точек $P$.

По определению, $P$ – это точка на прямой $l$ такая, что прямая $AP$ перпендикулярна прямой $l$.

Поскольку точки $P$ и $B$ лежат на прямой $l$, то прямая $l$ совпадает с прямой $PB$ (если $P \neq B$). Таким образом, условие $AP \perp l$ эквивалентно условию $AP \perp PB$.

Это означает, что угол $\angle APB$ является прямым.

Геометрическое место точек $P$, для которых угол $\angle APB$ прямой, – это окружность, построенная на отрезке $AB$ как на диаметре.

Рассмотрим особый случай: если прямая $l$ проходит через точку $A$, то $P$ совпадает с $A$. Если прямая $l$ – это прямая $AB$, то $P$ совпадает с $B$. Обе точки, $A$ и $B$, лежат на окружности с диаметром $AB$.

Если $A=B$, то любая прямая $l$ проходит через $A$. Перпендикуляр из $A$ на $l$ пересекает $l$ в точке $A$. В этом случае ГМТ состоит из одной точки $A$. Это согласуется с общим ответом, так как окружность с нулевым диаметром является точкой.

Ответ: Окружность, построенная на отрезке, соединяющем две данные точки, как на диаметре.

ж)

Пусть даны две точки $A$ и $B$ и угол $\alpha$. Мы ищем геометрическое место точек пересечения $P$ прямых $l_A$ и $l_B$, где $l_A$ проходит через $A$, а $l_B$ проходит через $B$, и угол между $l_A$ и $l_B$ равен $\alpha$.

Прямые $l_A$ и $l_B$ – это прямые $PA$ и $PB$. Угол между ними равен $\alpha$. Это означает, что угол $\angle APB$ равен либо $\alpha$, либо $180^\circ - \alpha$.

Геометрическое место точек $P$, из которых отрезок $AB$ виден под постоянным углом $\varphi$, есть пара дуг окружностей, симметричных относительно прямой $AB$.

1. Рассмотрим ГМТ точек $P$, для которых $\angle APB = \alpha$. Это пара дуг, являющихся частями двух разных окружностей, симметричных относительно прямой $AB$.2. Рассмотрим ГМТ точек $P$, для которых $\angle APB = 180^\circ - \alpha$. Это две другие дуги, которые дополняют первые дуги до полных окружностей.

Таким образом, множество всех точек $P$, для которых угол между прямыми $PA$ и $PB$ равен $\alpha$, состоит из двух полных окружностей, проходящих через точки $A$ и $B$. Эти две окружности симметричны друг другу относительно прямой $AB$. Точки $A$ и $B$ исключаются из этого множества, так как в этих случаях одна из прямых не определена.

Если $\alpha = 90^\circ$, то $180^\circ - \alpha = 90^\circ$. В этом случае две симметричные окружности совпадают и образуют одну окружность, построенную на $AB$ как на диаметре.

Ответ: Пара окружностей, проходящих через данные точки $A$ и $B$ и симметричных относительно прямой $AB$ (за исключением самих точек $A$ и $B$).

з)

Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$ и радиусом $R$, и дан отрезок длиной $a$. Ищется ГМТ концов отрезков, которые начинаются на $\omega$, параллельны друг другу и имеют длину $a$.

Условие "параллельны друг другу" означает, что все эти отрезки имеют одно и то же направление. Зададим это направление вектором $\vec{v}$, длина которого равна $a$ ($|\vec{v}| = a$).

Рассмотрим отрезок $XY$. Условие "начинается на данной окружности" означает, что один из его концов лежит на $\omega$.

Случай 1: Начало отрезка $X$ лежит на окружности $\omega$, а его конец $Y$ ищется. Тогда $\vec{XY} = \vec{v}$. Положение точки $Y$ определяется как $\vec{OY} = \vec{OX} + \vec{v}$. Когда точка $X$ пробегает всю окружность $\omega$, множество точек $Y$ образует образ окружности $\omega$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v}$. Таким образом, это будет окружность $\omega_1$, конгруэнтная $\omega$, с центром в точке $O_1$, где $\vec{OO_1} = \vec{v}$.

Случай 2: Конец отрезка $Y$ лежит на окружности $\omega$, а его начало $X$ ищется. Тогда $\vec{XY} = \vec{v}$, откуда $\vec{OX} = \vec{OY} - \vec{v}$. Когда точка $Y$ пробегает всю окружность $\omega$, множество точек $X$ образует образ окружности $\omega$ при параллельном переносе на вектор $-\vec{v}$. Это будет окружность $\omega_2$, конгруэнтная $\omega$, с центром в точке $O_2$, где $\vec{OO_2} = -\vec{v}$.

Фраза "концов отрезков" может означать совокупность всех возможных конечных точек. Если отрезок может быть направлен в любую из двух противоположных сторон вдоль заданной прямой, то искомое ГМТ будет объединением двух полученных окружностей.

Ответ: Пара окружностей, равных данной. Одна получается из данной параллельным переносом на вектор $\vec{v}$ (длиной $a$ и заданного направления), а вторая – параллельным переносом на вектор $-\vec{v}$.