Номер 708, страница 211 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

708. Есть прямая $l$ и точки $C$ и $D$ по одну сторону от нее на расстояниях $m$ и $n$ соответственно. Точка $X$ плоскости выбирается так, что прямые $XC$ и $XD$ пересекают прямую $l$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно

и $\frac{XC}{XC_1} + \frac{XD}{XD_1} = k$ (рис. 449; а, б). Найдите геометрическое место таких точек $X$, учитывая, что:

а) $m=3, n=1, k=2$;

б) $m=5, n=1, k=\frac{3}{2}$;

в) $m=5, n=1, k=3$.

Рис. 449

Введем декартову систему координат, в которой прямая $l$ совпадает с осью абсцисс ($y=0$). Поскольку точки $C$ и $D$ находятся по одну сторону от прямой $l$, будем считать, что они лежат в верхней полуплоскости. Тогда их координаты можно записать как $C(x_C, m)$ и $D(x_D, n)$, где $m$ и $n$ — заданные расстояния. Координаты искомой точки $X$ обозначим как $(x, y)$.

Точка $C_1$ — это точка пересечения прямой, проходящей через $X(x, y)$ и $C(x_C, m)$, с прямой $l$ (осью $y=0$). Точка $D_1$ — точка пересечения прямой $XD$ с $l$.

Рассмотрим отношение $\frac{XC}{XC_1}$. Из подобия треугольников, образованных перпендикулярами, опущенными из точек $X$ и $C$ на прямую $l$, можно вывести соотношение для длин отрезков. Более строгий способ — использовать векторное представление или формулу деления отрезка в данном отношении для y-координат. Пусть y-координаты точек $X$, $C$ и $C_1$ равны $y$, $m$ и $0$ соответственно. Отношение длин отрезков выражается через их y-координаты: $$ \frac{XC}{XC_1} = \left|\frac{y-m}{y}\right| = \left|1 - \frac{m}{y}\right| $$ Аналогично для точек $X$, $D$ и $D_1$: $$ \frac{XD}{XD_1} = \left|\frac{y-n}{y}\right| = \left|1 - \frac{n}{y}\right| $$

Подставляя эти выражения в данное в условии равенство $\frac{XC}{XC_1} + \frac{XD}{XD_1} = k$, получаем уравнение, связывающее y-координату точки $X$ с известными параметрами: $$ \left|1 - \frac{m}{y}\right| + \left|1 - \frac{n}{y}\right| = k $$ Это уравнение не зависит от x-координаты точки $X$. Это означает, что искомое геометрическое место точек (ГМТ) представляет собой одну или несколько прямых, параллельных прямой $l$. Решим это уравнение для каждого из заданных случаев.

При $m=3$, $n=1$, $k=2$ уравнение принимает вид: $$ \left|1 - \frac{3}{y}\right| + \left|1 - \frac{1}{y}\right| = 2 $$ Раскроем модули, рассматривая различные интервалы для $y$ (предполагая $m>n$):
1. При $y > 3$: $(1 - \frac{3}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 2 \implies 2 - \frac{4}{y} = 2 \implies \frac{4}{y} = 0$. Решений нет.
2. При $1 < y < 3$: $-(1 - \frac{3}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 2 \implies -1 + \frac{3}{y} + 1 - \frac{1}{y} = 2 \implies \frac{2}{y} = 2 \implies y=1$. Это значение не попадает в интервал $(1, 3)$.
3. При $0 < y < 1$: $-(1 - \frac{3}{y}) - (1 - \frac{1}{y}) = 2 \implies -2 + \frac{4}{y} = 2 \implies \frac{4}{y} = 4 \implies y=1$. Это значение не попадает в интервал $(0, 1)$.
4. При $y < 0$: $(1 - \frac{3}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 2 \implies 2 - \frac{4}{y} = 2 \implies \frac{4}{y} = 0$. Решений нет.
Проверим граничные значения. При $y=1$ получаем: $|1-3/1| + |1-1/1| = |-2| + 0 = 2$. Равенство выполняется. Значит, $y=1$ является решением.
Это соответствует прямой, параллельной $l$, расположенной на той же стороне, что и $C$ и $D$, на расстоянии 1 от $l$. Эта прямая проходит через точку $D$.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это прямая, проходящая через точку $D$ и параллельная прямой $l$ (за исключением самой точки $D$, в которой выражение $\frac{XD}{XD_1}$ не определено).

При $m=5$, $n=1$, $k=\frac{3}{2}$ уравнение принимает вид: $$ \left|1 - \frac{5}{y}\right| + \left|1 - \frac{1}{y}\right| = \frac{3}{2} $$ Рассмотрим интервалы для $y$ (при $m=5 > n=1$):
1. При $y > 5$: $(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = \frac{3}{2} \implies 2 - \frac{6}{y} = \frac{3}{2} \implies \frac{6}{y} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \implies y=12$. Условие $y>5$ выполнено ($12>5$), значит, это решение.
2. При $1 < y < 5$: $-(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = \frac{3}{2} \implies \frac{4}{y} = \frac{3}{2} \implies y = \frac{8}{3}$. Условие $1 < \frac{8}{3} < 5$ выполнено, значит, это решение.
3. При $0 < y < 1$: $-(1 - \frac{5}{y}) - (1 - \frac{1}{y}) = \frac{3}{2} \implies -2 + \frac{6}{y} = \frac{3}{2} \implies \frac{6}{y} = \frac{7}{2} \implies y = \frac{12}{7}$. Условие $y<1$ не выполнено ($\frac{12}{7} > 1$).
4. При $y < 0$: $(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = \frac{3}{2} \implies 2 - \frac{6}{y} = \frac{3}{2} \implies y=12$. Условие $y<0$ не выполнено.
Таким образом, получаем две прямые $y=12$ и $y=\frac{8}{3}$.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные прямой $l$ и расположенные на той же стороне, что и точки $C$ и $D$, на расстояниях $12$ и $\frac{8}{3}$ от $l$.

При $m=5$, $n=1$, $k=3$ уравнение принимает вид: $$ \left|1 - \frac{5}{y}\right| + \left|1 - \frac{1}{y}\right| = 3 $$ Рассмотрим интервалы для $y$ (при $m=5 > n=1$):
1. При $y > 5$: $(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 3 \implies 2 - \frac{6}{y} = 3 \implies -\frac{6}{y} = 1 \implies y=-6$. Условие $y>5$ не выполнено.
2. При $1 < y < 5$: $-(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 3 \implies \frac{4}{y} = 3 \implies y = \frac{4}{3}$. Условие $1 < \frac{4}{3} < 5$ выполнено, значит, это решение.
3. При $0 < y < 1$: $-(1 - \frac{5}{y}) - (1 - \frac{1}{y}) = 3 \implies -2 + \frac{6}{y} = 3 \implies \frac{6}{y} = 5 \implies y = \frac{6}{5}$. Условие $y<1$ не выполнено ($\frac{6}{5} > 1$).
4. При $y < 0$: $(1 - \frac{5}{y}) + (1 - \frac{1}{y}) = 3 \implies 2 - \frac{6}{y} = 3 \implies y=-6$. Условие $y<0$ выполнено, значит, это решение.
Таким образом, получаем две прямые $y=\frac{4}{3}$ и $y=-6$.
Ответ: Искомое геометрическое место точек — это две прямые, параллельные прямой $l$. Одна из них находится на той же стороне, что и точки $C$ и $D$, на расстоянии $\frac{4}{3}$ от $l$, а другая — на противоположной стороне на расстоянии $6$ от $l$.