Номер 715, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

715. Найдите геометрическое место центров параллелограммов, стороны которых параллельны диагоналям данного четырехугольника, а вершины лежат на его сторонах.

Пусть данный четырехугольник – $ABCD$. Обозначим середины его диагоналей $AC$ и $BD$ как точки $P$ и $Q$ соответственно. Пусть $KLMN$ – один из рассматриваемых параллелограммов, вершины которого лежат на сторонах четырехугольника: $K \in AB$, $L \in BC$, $M \in CD$ и $N \in DA$. По условию, стороны параллелограмма $KLMN$ параллельны диагоналям $AC$ и $BD$. Пусть, для определенности, $KL \parallel AC$ и $LM \parallel BD$.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как отрезок $KL$ соединяет стороны $AB$ и $BC$ и при этом $KL \parallel AC$, то по теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия треугольников $\triangle BKL$ и $\triangle BAC$) следует, что: $$ \frac{BK}{BA} = \frac{BL}{BC} = \lambda $$ где $\lambda$ – некоторый коэффициент пропорциональности. Поскольку точки $K$ и $L$ лежат на отрезках $AB$ и $BC$ (для невырожденного параллелограмма - внутри отрезков), то $\lambda \in (0, 1)$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $ADC$. Сторона $MN$ параллелограмма параллельна стороне $KL$, а значит, $MN \parallel AC$. Так как отрезок $MN$ соединяет стороны $CD$ и $DA$, из подобия треугольников $\triangle DMN$ и $\triangle DCA$ следует: $$ \frac{DM}{DC} = \frac{DN}{DA} = \mu $$ Поскольку $KLMN$ – параллелограмм, то его противоположные стороны равны: $KL = MN$. Из подобия $\triangle BKL \sim \triangle BAC$ имеем $KL = \lambda \cdot AC$. Из подобия $\triangle DMN \sim \triangle DCA$ имеем $MN = \mu \cdot AC$. Следовательно, $\lambda \cdot AC = \mu \cdot AC$, откуда $\lambda = \mu$.

Таким образом, вершины параллелограмма делят стороны четырехугольника в одинаковых отношениях: $$ \frac{BK}{BA} = \frac{BL}{BC} = \frac{DM}{DC} = \frac{DN}{DA} = \lambda $$

Теперь найдем геометрическое место центров $O$ таких параллелограммов. Центр параллелограмма является серединой его диагоналей, например, серединой отрезка $LN$. Для нахождения координат центра $O$ воспользуемся векторным методом. Пусть начало координат выбрано произвольно. Тогда радиус-векторы вершин параллелограмма можно выразить через радиус-векторы вершин четырехугольника.

Из соотношения $\frac{BL}{BC} = \lambda$ следует, что $\vec{BL} = \lambda \cdot \vec{BC}$ (так как векторы коллинеарны и сонаправлены). Раскрывая это равенство, получаем $\vec{L} - \vec{B} = \lambda(\vec{C} - \vec{B})$, откуда $\vec{L} = (1-\lambda)\vec{B} + \lambda\vec{C}$.

Аналогично, из соотношения $\frac{DN}{DA} = \lambda$ следует, что $\vec{DN} = \lambda \cdot \vec{DA}$, то есть $\vec{N} - \vec{D} = \lambda(\vec{A} - \vec{D})$, откуда $\vec{N} = (1-\lambda)\vec{D} + \lambda\vec{A}$.

Радиус-вектор центра $O$ как середины отрезка $LN$: $$ \vec{O} = \frac{\vec{L} + \vec{N}}{2} = \frac{((1-\lambda)\vec{B} + \lambda\vec{C}) + ((1-\lambda)\vec{D} + \lambda\vec{A})}{2} $$ Сгруппируем слагаемые при $\lambda$ и $(1-\lambda)$: $$ \vec{O} = \frac{(1-\lambda)(\vec{B} + \vec{D}) + \lambda(\vec{A} + \vec{C})}{2} $$ $$ \vec{O} = (1-\lambda)\frac{\vec{B} + \vec{D}}{2} + \lambda\frac{\vec{A} + \vec{C}}{2} $$

Вспомним, что точка $P$ – середина диагонали $AC$, поэтому ее радиус-вектор $\vec{P} = \frac{\vec{A} + \vec{C}}{2}$. А точка $Q$ – середина диагонали $BD$, ее радиус-вектор $\vec{Q} = \frac{\vec{B} + \vec{D}}{2}$. Тогда положение центра $O$ описывается уравнением: $$ \vec{O} = \lambda\vec{P} + (1-\lambda)\vec{Q} $$

Это векторное уравнение задает отрезок, соединяющий точки $P$ и $Q$. Параметр $\lambda$ изменяется в интервале $(0, 1)$, поэтому точка $O$ пробегает все внутренние точки отрезка $PQ$. Если включить в рассмотрение вырожденные параллелограммы (при $\lambda=0$ он вырождается в диагональ $BD$, а при $\lambda=1$ – в диагональ $AC$), то их центры совпадут с точками $Q$ и $P$ соответственно. Таким образом, искомое геометрическое место точек полностью покрывает отрезок $PQ$.

Ответ:

Искомое геометрическое место точек – это отрезок, концами которого являются середины диагоналей данного четырехугольника.