Номер 719, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

719. Разделите прямой угол на три доли.

Прямой угол равен $90^\circ$. Чтобы разделить его на три равные доли, необходимо построить три смежных угла, каждый из которых будет равен $90^\circ \div 3 = 30^\circ$. Эта задача решается с помощью циркуля и линейки без делений, так как построение угла в $30^\circ$ и $60^\circ$ относится к классическим задачам на построение.

Пусть нам дан прямой угол $\angle AOB$ с вершиной в точке $O$.

Алгоритм построения следующий:

1. Из вершины $O$ как из центра проводим дугу окружности произвольного радиуса $r$. Эта дуга пересекает стороны угла в точках $P$ (на луче $OA$) и $Q$ (на луче $OB$).
2. Не изменяя раствор циркуля (сохраняя радиус $r$), устанавливаем его острие в точку $P$ и проводим еще одну дугу так, чтобы она пересекла первую дугу внутри угла. Точку пересечения дуг назовем $R$.
3. Проводим луч $OR$. Угол $\angle POR$ равен $60^\circ$, поскольку треугольник $\triangle OPR$ является равносторонним (по построению все его стороны $OP$, $OR$ и $PR$ равны радиусу $r$).
4. Теперь исходный прямой угол $\angle AOB$ разделен на два угла: $\angle POR = 60^\circ$ и $\angle ROQ$. Величина угла $\angle ROQ$ равна разности исходного угла и построенного: $\angle ROQ = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$. Это первая из трех искомых долей.
5. Оставшийся угол $\angle POR$ ($60^\circ$) необходимо разделить пополам, чтобы получить еще два угла по $30^\circ$. Для этого строим его биссектрису. Из точек $P$ и $R$ проводим две дуги одинакового (но произвольного) радиуса внутри угла до их пересечения в точке $S$.
6. Проводим луч $OS$, который является биссектрисой угла $\angle POR$. Он делит этот угол на два равных угла: $\angle POS = \angle SOR = 60^\circ \div 2 = 30^\circ$.

Таким образом, лучи $OR$ и $OS$ делят прямой угол $\angle AOB$ на три равные доли: $\angle POS$, $\angle SOR$ и $\angle ROQ$, каждая из которых составляет $30^\circ$.

Ответ: Прямой угол можно разделить на три равные доли, построив внутри него угол в $60^\circ$ (с помощью циркуля и построения равностороннего треугольника), что сразу же отсекает угол в $30^\circ$. Затем оставшийся угол в $60^\circ$ делится пополам с помощью построения биссектрисы, в результате чего образуются еще два угла по $30^\circ$.