Номер 726, страница 214 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

726. Есть окружность. Постройте:

a) хорду, имеющую данную длину и проходящую через данную точку;

б) секущую, проходящую через данную точку вне круга, из которой высекается хорда данной длины;

в) такую точку данной прямой, что расстояния от этой точки до точек касания, проведенных из этой точки касательных, равны данному отрезку.

а) хорду, имеющую данную длину и проходящую через данную точку;

Пусть дана окружность $ \omega $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ R $, точка $ P $ и длина хорды $ l $.

Анализ: Все хорды в окружности, имеющие одинаковую длину $ l $, равноудалены от ее центра $ O $. Найдем это расстояние $ d $. Пусть $ AB $ — хорда длиной $ l $, а $ M $ — ее середина. Тогда $ OM \perp AB $ и $ AM = l/2 $. В прямоугольном треугольнике $ \triangle OMA $ катеты $ OM $ и $ AM $, гипотенуза $ OA = R $. По теореме Пифагора: $ OA^2 = OM^2 + AM^2 $, откуда $ d^2 = OM^2 = R^2 - (l/2)^2 $. Таким образом, все хорды длиной $ l $ касаются вспомогательной окружности $ \omega' $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ d = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} $. Задача сводится к построению касательной к окружности $ \omega' $ из данной точки $ P $. Прямая, содержащая эту касательную, пересечет исходную окружность $ \omega $ в точках, которые и будут концами искомой хорды.

Построение:

1. Построим радиус $ d $ вспомогательной окружности. Для этого можно построить в любом месте данной окружности $ \omega $ произвольную хорду $ A'B' $ длиной $ l $. Затем найти ее середину $ M' $. Длина отрезка $ OM' $ и будет искомым радиусом $ d $. Для построения хорды $ A'B' $ нужно выбрать на окружности $ \omega $ произвольную точку $ A' $ и провести окружность с центром в $ A' $ и радиусом $ l $. Точка пересечения этой окружности с $ \omega $ будет точкой $ B' $.

2. Построим вспомогательную окружность $ \omega' $ с центром $ O $ и радиусом $ d $.

3. Из точки $ P $ проведем касательную к окружности $ \omega' $. Для этого:
а) Соединим точки $ O $ и $ P $ отрезком.
б) Найдем середину $ K $ отрезка $ OP $.
в) Построим окружность с центром в точке $ K $ и радиусом $ KO = KP $.
г) Эта окружность пересечет окружность $ \omega' $ в точках касания (назовем их $ T_1 $ и $ T_2 $, если они существуют).

4. Проведем прямые через точку $ P $ и точки касания $ T_1 $ и $ T_2 $. Эти прямые пересекут исходную окружность $ \omega $ в точках $ A_1, B_1 $ и $ A_2, B_2 $ соответственно. Хорды $ A_1B_1 $ и $ A_2B_2 $ — искомые.

Исследование: Задача имеет решение при выполнении двух условий:

1. Хорду длиной $ l $ в принципе возможно построить в окружности радиуса $ R $, то есть ее длина не должна превышать диаметр: $ l \le 2R $. Если $ l > 2R $, решений нет.

2. Из точки $ P $ можно провести касательную к вспомогательной окружности $ \omega' $. Это возможно, если расстояние от точки $ P $ до центра $ O $ не меньше радиуса $ d $ окружности $ \omega' $, то есть $ OP \ge d $.

В итоге, количество решений зависит от соотношения между $ OP $ и $ d = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} $:
- Если $ OP > d $, то из точки $ P $ можно провести две касательные. Два решения.
- Если $ OP = d $, то точка $ P $ лежит на окружности $ \omega' $. Можно провести одну касательную (перпендикуляр к $ OP $ в точке $ P $). Одно решение.
- Если $ OP < d $, то точка $ P $ находится внутри окружности $ \omega' $, касательную провести нельзя. Решений нет.

Ответ: Построение описано выше. Задача может иметь два, одно или не иметь решений в зависимости от взаимного расположения точки P и окружности, а также от заданной длины хорды.

б) секущую, проходящую через данную точку вне круга, из которой высекается хорда данной длины;

Пусть дана окружность $ \omega $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ R $, точка $ P $ вне круга и длина хорды $ l $.

Анализ: Задача состоит в том, чтобы найти прямую, проходящую через точку $ P $ и пересекающую окружность в точках $ A $ и $ B $ так, что длина хорды $ AB $ равна $ l $. Как и в предыдущем пункте, все хорды длиной $ l $ касаются вспомогательной концентрической окружности $ \omega' $ с радиусом $ d = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} $. Таким образом, задача сводится к построению касательной из точки $ P $ к окружности $ \omega' $.

Построение: Алгоритм построения полностью совпадает с алгоритмом из пункта а):

1. Построить радиус $ d = \sqrt{R^2 - (l/2)^2} $.

2. Построить вспомогательную окружность $ \omega' $ с центром $ O $ и радиусом $ d $.

3. Провести касательные из точки $ P $ к окружности $ \omega' $. Поскольку точка $ P $ находится вне исходной окружности $ \omega $, то $ OP > R $. В то же время, радиус вспомогательной окружности $ d \le R $. Следовательно, $ OP > d $, и точка $ P $ всегда находится вне окружности $ \omega' $ (при условии, что $ d $ существует).

4. Прямые, проходящие через $ P $ и точки касания к $ \omega' $, являются искомыми секущими.

Исследование:
- Если $ l > 2R $, то действительного значения для $ d $ не существует, хорду такой длины построить нельзя. Решений нет.
- Если $ l = 2R $, то хорда является диаметром. Тогда $ d = 0 $, и вспомогательная окружность $ \omega' $ вырождается в точку $ O $. Касательная из $ P $ к точке $ O $ — это прямая $ PO $. Эта прямая является секущей, высекающей из окружности $ \omega $ диаметр. Одно решение.
- Если $ l < 2R $, то $ d > 0 $. Так как $ P $ находится вне $ \omega $, то $ OP > R \ge d $. Значит, из точки $ P $ всегда можно провести две касательные к $ \omega' $. Два решения.

Ответ: Построение аналогично пункту а). Задача имеет два решения, если $l < 2R$; одно решение, если $l = 2R$; и не имеет решений, если $l > 2R$.

в) такую точку данной прямой, что расстояния от этой точки до точек касания, проведенных из этой точки касательных, равны данному отрезку.

Пусть дана окружность $ \omega $ с центром $ O $ и радиусом $ R $, прямая $ m $ и отрезок длиной $ k $.

Анализ: Нужно найти на прямой $ m $ такую точку $ X $, что длина касательных, проведенных из $ X $ к окружности $ \omega $, равна $ k $. Пусть $ T $ — точка касания на окружности $ \omega $ для касательной, проведенной из $ X $. Длина касательной — это длина отрезка $ XT $. По условию, $ XT = k $. Рассмотрим треугольник $ \triangle XTO $. Поскольку радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, угол $ \angle XTO $ прямой. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ \triangle XTO $: $ XO^2 = XT^2 + OT^2 $ Подставляя известные значения, получаем: $ XO^2 = k^2 + R^2 $ Это означает, что искомая точка $ X $ должна находиться на расстоянии $ \sqrt{k^2 + R^2} $ от центра $ O $. Геометрическое место точек, удаленных от точки $ O $ на постоянное расстояние, — это окружность. Обозначим это расстояние $ r' = \sqrt{k^2 + R^2} $. Таким образом, все точки $ X $, удовлетворяющие условию о длине касательной, лежат на вспомогательной окружности $ \omega'' $ с центром $ O $ и радиусом $ r' $. Поскольку искомая точка $ X $ также должна лежать на прямой $ m $, она является точкой пересечения окружности $ \omega'' $ и прямой $ m $.

Построение:

1. Построим отрезок длиной $ r' = \sqrt{k^2 + R^2} $. Для этого нужно построить прямоугольный треугольник с катетами, равными $ R $ (радиус данной окружности) и $ k $ (данная длина касательной). Длина гипотенузы этого треугольника будет равна $ r' $.

2. Построим вспомогательную окружность $ \omega'' $ с центром в точке $ O $ и радиусом $ r' $.

3. Найдем точки пересечения окружности $ \omega'' $ и данной прямой $ m $. Эти точки (если они существуют) и будут искомыми точками $ X $.

Исследование: Количество решений задачи зависит от числа точек пересечения окружности $ \omega'' $ и прямой $ m $. Пусть $ h $ — расстояние от центра $ O $ до прямой $ m $ (длина перпендикуляра, опущенного из $ O $ на $ m $).
- Если $ h > r' $, прямая и окружность не пересекаются. Решений нет.
- Если $ h = r' $, прямая касается окружности в одной точке. Одно решение.
- Если $ h < r' $, прямая пересекает окружность в двух точках. Два решения.

Ответ: Построение описано выше. Задача может иметь два, одно или не иметь решений в зависимости от расстояния от центра окружности до данной прямой.