Номер 733, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

733. Постройте касательную к данной окружности, которая образует данный угол с данной прямой.

Для решения задачи построим касательную к данной окружности `\omega` с центром в точке `O`, которая образует данный угол `\alpha` с данной прямой `l`. Решение задачи включает анализ, описание шагов построения, доказательство и исследование количества решений.

Анализ

Предположим, что искомая касательная `t` построена. Она касается окружности `\omega` в некоторой точке `P`.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть `OP \perp t`.
2. По условию задачи, угол между касательной `t` и данной прямой `l` равен `\alpha`.

Из этих двух свойств следует, что искомая касательная `t` должна быть параллельна некоторой прямой `m`, которая образует угол `\alpha` с прямой `l`. В свою очередь, радиус `OP`, проведенный в точку касания `P`, должен быть перпендикулярен этой прямой `m` (а значит, и самой касательной `t`).

Это позволяет разработать следующий план построения:

1. Сначала находим направление будущей касательной. Для этого строим вспомогательную прямую `m`, образующую угол `\alpha` с прямой `l`.
2. Затем находим линию, на которой лежит радиус к точке касания. Это прямая `n`, проходящая через центр окружности `O` и перпендикулярная направлению `m`.
3. Точки пересечения прямой `n` с окружностью `\omega` и будут искомыми точками касания.
4. Через найденные точки касания проводим прямые, параллельные `m`, которые и будут искомыми касательными.

Построение

Алгоритм построения искомой касательной (или касательных) с помощью циркуля и линейки состоит из следующих шагов:

1. Построение вспомогательной прямой `m` с заданным направлением.
   Выберем на данной прямой `l` произвольную точку `A`. Построим в точке `A` угол, равный данному углу `\alpha`, одной стороной которого является луч, лежащий на прямой `l`. Вторая сторона построенного угла задает прямую `m`. Таким образом, прямая `m` образует с прямой `l` угол `\alpha`.
2. Построение прямой `n`, содержащей радиус.
   Проведем через центр окружности `O` прямую `n`, перпендикулярную построенной прямой `m`. Это стандартная задача на построение перпендикуляра из данной точки к данной прямой.
3. Нахождение точек касания.
   Прямая `n` пересечет окружность `\omega` в двух точках (в общем случае). Обозначим эти точки `P_1` и `P_2`. Это и есть искомые точки касания.
4. Построение касательных.
   Через точку `P_1` проведем прямую `t_1`, параллельную прямой `m`. Аналогично, через точку `P_2` проведем прямую `t_2`, параллельную прямой `m`. Построение параллельной прямой — также стандартная процедура.

Прямые `t_1` и `t_2` являются касательными, удовлетворяющими условию задачи.

Доказательство

Докажем, что построенная прямая `t_1` является искомой.

• По построению `t_1 \parallel m`. Прямая `m` была построена так, что угол между ней и прямой `l` равен `\alpha`. Следовательно, как соответственные углы при параллельных прямых, угол между `t_1` и `l` также равен `\alpha`.
• Радиус `OP_1` лежит на прямой `n`. По построению `n \perp m`. Поскольку `t_1 \parallel m`, то из этого следует, что `n \perp t_1`, а это означает, что `OP_1 \perp t_1`.
• Прямая `t_1` проходит через точку `P_1` на окружности и перпендикулярна радиусу `OP_1`, проведенному в эту точку. По определению, `t_1` является касательной к окружности `\omega` в точке `P_1`.

Таким образом, прямая `t_1` удовлетворяет всем условиям задачи. Аналогичное доказательство справедливо и для прямой `t_2`.

Исследование количества решений

В шаге 1 построения мы строили прямую `m`, образующую угол `\alpha` с прямой `l`. Угол `\alpha` можно отложить по обе стороны от прямой `l`. Это дает два различных (непараллельных) направления для касательной, если `\alpha \ne 90^\circ` и `\alpha \ne 0^\circ`.

• Направление 1: Построим прямую `m_1`, образующую угол `\alpha` с `l`. Выполнив шаги 2-4, мы получим две параллельные касательные `t_1` и `t_2`.
• Направление 2: Построим прямую `m_2`, также образующую угол `\alpha` с `l`, но симметрично `m_1` относительно `l`. Повторив для `m_2` шаги 2-4, мы получим еще две параллельные касательные `t_3` и `t_4`.

Таким образом, количество решений задачи зависит от данного угла `\alpha`.

• Если `0 < \alpha < 90^\circ` или `90^\circ < \alpha < 180^\circ`, то существует два различных направления для касательных. Каждое направление дает две касательные. В общем случае задача имеет четыре решения.
• Если `\alpha = 90^\circ`, то оба направления совпадают. В этом случае будет только два решения (две касательные, перпендикулярные `l`).
• Если `\alpha = 0^\circ` или `\alpha = 180^\circ`, то касательные должны быть параллельны `l`. В этом случае также существует только два решения.
• Задача всегда имеет решение, если только окружность не является точкой.

Ответ: Задача решена. Построение описано выше. В общем случае задача имеет четыре решения, в частных случаях (когда угол прямой или нулевой) — два решения.