Номер 735, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

735. Постройте параллелограмм по его:

а) двум смежным сторонам и диагонали;

б) стороне и двум диагоналям;

в) диагоналям и углу между ними;

г) стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и диагонали;

д) сторонам и одному из углов;

е) сторонам и высоте;

ж) диагоналям и высоте;

з) стороне, сумме диагоналей и углу между ними;

и) стороне, разности диагоналей и углу между ними;

к) стороне, сумме диагонали с другой стороной и одному из углов;

л) стороне, разности диагонали с другой стороной и одному из углов;

м) периметру, диагонали и углу между этой диагональю и стороной;

н) одному из его углов и двум высотам;

о) сторонам и углу между диагоналями;

п) углу и двум диагоналям.

а) двум смежным сторонам и диагонали;

Пусть даны отрезки a и b — смежные стороны параллелограмма, и отрезок d — диагональ, выходящая из общей вершины этих сторон.

1. Построим треугольник по трем сторонам a, b и d. Пусть это будет треугольник ABC, где AB = a, BC = b и диагональ AC = d.
   1. Строим отрезок AB длиной a.
   2. Из точки A проводим дугу окружности радиусом d.
   3. Из точки B проводим дугу окружности радиусом b.
   4. Точка пересечения этих дуг будет вершиной C. Соединяем точки A, B и C.
2. Теперь нужно найти четвертую вершину D. В параллелограмме противолежащие стороны равны, поэтому AD = BC = b и CD = AB = a.
   1. Из точки A проводим дугу окружности радиусом b.
   2. Из точки C проводим дугу окружности радиусом a.
   3. Точка пересечения этих дуг (отличная от B) будет вершиной D.
3. Соединяем последовательно вершины A, B, C и D. Полученный четырехугольник ABCD является искомым параллелограммом.

Ответ: Задача решена.

б) стороне и двум диагоналям;

Пусть даны сторона a и диагонали $d_1$ и $d_2$. Свойство параллелограмма: диагонали точкой пересечения делятся пополам. Рассмотрим треугольник AOB, где O — точка пересечения диагоналей. Стороны этого треугольника равны AB = a, AO = $d_1/2$, BO = $d_2/2$.

1. Сначала построим треугольник AOB по трем сторонам.
   1. Строим отрезок AB длиной a.
   2. Из точки A проводим дугу окружности радиусом $d_1/2$. (Для этого нужно поделить отрезок $d_1$ пополам с помощью циркуля и линейки).
   3. Из точки B проводим дугу окружности радиусом $d_2/2$.
   4. Точка пересечения дуг будет точкой O.
2. Теперь найдем вершины C и D.
   1. Проводим луч AO и откладываем на нем за точкой O отрезок OC, равный AO. Получаем вершину C.
   2. Проводим луч BO и откладываем на нем за точкой O отрезок OD, равный BO. Получаем вершину D.
3. Соединяем последовательно вершины A, B, C и D. ABCD — искомый параллелограмм.

Ответ: Задача решена.

в) диагоналям и углу между ними;

Пусть даны диагонали $d_1$ и $d_2$ и угол $\alpha$ между ними.

1. Строим две пересекающиеся прямые, образующие угол $\alpha$. Точку их пересечения обозначим O.
2. На одной из прямых от точки O в противоположные стороны откладываем отрезки OA и OC, равные половине диагонали $d_1$, то есть $OA = OC = d_1/2$.
3. На другой прямой от точки O в противоположные стороны откладываем отрезки OB и OD, равные половине диагонали $d_2$, то есть $OB = OD = d_2/2$.
4. Соединяем последовательно точки A, B, C и D. Так как диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке O и делятся ею пополам, то ABCD — параллелограмм.

Ответ: Задача решена.

г) стороне, высоте, проведенной к этой стороне, и диагонали;

Пусть даны сторона a, высота h, проведенная к этой стороне, и диагональ d. Возможны два случая в зависимости от того, какая диагональ дана.

Случай 1: Диагональ d соединяет вершины, одна из которых принадлежит данной стороне a (например, сторона AB=a, диагональ AC=d, высота из вершины C на прямую AB равна h).

1. Проводим произвольную прямую l.
2. Строим прямую m, параллельную прямой l, на расстоянии h от нее.
3. На прямой l выбираем произвольную точку A и откладываем отрезок AB = a.
4. Из точки A проводим дугу окружности радиусом d. Эта дуга пересечет прямую m в искомой вершине C. (Задача может иметь два, одно или ни одного решения в зависимости от числа точек пересечения).
5. Чтобы найти четвертую вершину D, откладываем на прямой m от точки C отрезок CD, равный и параллельный отрезку BA.
6. Соединяем точки A, B, C, D. Искомый параллелограмм построен.

Случай 2: Диагональ d соединяет вершины, не принадлежащие данной стороне a (например, сторона AB=a, диагональ BD=d, высота из вершины D на прямую AB равна h).

1. Аналогично первому случаю, строим две параллельные прямые l и m на расстоянии h друг от друга.
2. На прямой l выбираем точку A и откладываем отрезок AB = a.
3. Из точки B проводим дугу окружности радиусом d. Эта дуга пересечет прямую m в искомой вершине D.
4. Чтобы найти четвертую вершину C, откладываем на прямой m от точки D отрезок DC, равный и параллельный отрезку AB.
5. Соединяем точки A, B, C, D. Искомый параллелограмм построен.

Ответ: Задача решена.

д) сторонам и одному из углов;

Пусть даны смежные стороны a и b и угол $\alpha$ между ними.

1. Строим угол, равный данному углу $\alpha$. Обозначим его вершину A.
2. На одной стороне угла откладываем от вершины A отрезок AD, равный b.
3. На другой стороне угла откладываем от вершины A отрезок AB, равный a.
4. Для нахождения четвертой вершины C:
   1. Из точки B проводим дугу окружности радиусом b.
   2. Из точки D проводим дугу окружности радиусом a.
   3. Точка пересечения этих дуг будет вершиной C.
5. Соединяем B с C и D с C. Параллелограмм ABCD построен.

Ответ: Задача решена.

е) сторонам и высоте;

Пусть даны смежные стороны a, b и высота $h_a$, проведенная к стороне a.

1. Проводим произвольную прямую l.
2. Строим прямую m, параллельную l, на расстоянии $h_a$ от нее.
3. На прямой l выбираем произвольную точку A.
4. Из точки A проводим дугу окружности радиусом b. Точка пересечения этой дуги с прямой m будет вершиной D. (Если $b < h_a$, решений нет).
5. На прямой l откладываем от точки A отрезок AB, равный a.
6. На прямой m откладываем от точки D отрезок DC, равный и параллельный AB.
7. Соединяем последовательно A, B, C, D. Искомый параллелограмм построен.

Ответ: Задача решена.

ж) диагоналям и высоте;

Пусть даны диагонали $d_1$, $d_2$ и высота h (например, опущенная на сторону, содержащую вершины A и B).

1. Строим две параллельные прямые l и m на расстоянии h друг от друга. Вершины A и B будут лежать на прямой l, а C и D — на прямой m.
2. Выбираем на прямой l произвольную точку B.
3. Из точки B проводим дугу окружности радиусом $d_2$ (диагональ BD). Точка пересечения этой дуги с прямой m будет вершиной D.
4. Находим середину O отрезка BD. Это будет точка пересечения диагоналей.
5. Через точку O должна проходить вторая диагональ AC длиной $d_1$. Вершина A должна лежать на прямой l. Таким образом, A является точкой пересечения прямой l и окружности с центром O и радиусом $d_1/2$. Строим эту окружность и находим точку A.
6. Вершину C находим, продлив отрезок AO за точку O на такое же расстояние: OC = AO.
7. Соединяем точки A, B, C, D. Искомый параллелограмм построен.

Ответ: Задача решена.

з) стороне, сумме диагоналей и углу между ними;

Пусть даны сторона a, сумма диагоналей $S = d_1 + d_2$ и угол $\alpha$ между диагоналями. Построение сводится к построению треугольника AOB (где O - точка пересечения диагоналей) по стороне AB=a, сумме двух других сторон $AO+BO = S/2$ и углу $\alpha$ между ними.

1. Сначала строим вспомогательный треугольник AOB:
   1. Делим пополам данный угол $\alpha$, чтобы получить угол $\alpha/2$.
   2. Делим пополам отрезок S, чтобы получить $S/2$.
   3. Строим отрезок AK длиной $S/2$.
   4. В точке K строим луч KM так, чтобы $\angle AKM = \alpha/2$.
   5. Из точки A проводим дугу окружности радиусом a. Точка ее пересечения с лучом KM будет вершиной B.
   6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку BK. Точка его пересечения с отрезком AK будет точкой O.
   7. Треугольник AOB построен. В нем $AB=a$, $AO+BO = AO+OK = AK = S/2$, и $\angle AOB = \angle OKB + \angle OBK = 2 \angle OKB = 2(\alpha/2) = \alpha$.
2. Имея треугольник AOB, строим параллелограмм:
   1. Продлеваем отрезок AO за точку O на расстояние $OC=AO$.
   2. Продлеваем отрезок BO за точку O на расстояние $OD=BO$.
3. Соединяем точки A, B, C, D. Искомый параллелограмм построен.

Ответ: Задача решена.

и) стороне, разности диагоналей и углу между ними;

Пусть даны сторона a, разность диагоналей $D = |d_1 - d_2|$ и угол $\alpha$ между диагоналями. Как и в предыдущем пункте, построение сводится к построению треугольника AOB по стороне AB=a, разности двух других сторон $|AO-BO| = D/2$ и углу $\alpha$ между ними. Пусть для определенности $d_1 > d_2$.

1. Строим вспомогательный треугольник AOB:
   1. Делим пополам данный угол $\alpha$, чтобы получить угол $\alpha/2$.
   2. Делим пополам отрезок D, чтобы получить $D/2$.
   3. Строим отрезок AK длиной $D/2$.
   4. В точке K строим луч KM так, чтобы $\angle AKM$ (или смежный с ним) был равен $90^\circ - \alpha/2$. Лучше использовать другой метод: строим $\angle(A,K,B) = \alpha/2$ (этот угол внешний). Или $\angle(K,B,A)=\alpha/2$. Давайте воспользуемся проверенным методом: строим $\triangle ABK$, где $AK=D/2$, $AB=a$, $\angle AKB = 180^\circ - \alpha/2$. Нет, это неверно. Правильная последовательность:
   5. Строим отрезок AK длиной $D/2$.
   6. В точке K строим луч KM так, чтобы $\angle AKM = (180 - \alpha)/2$.
   7. Из точки A проводим дугу радиусом a. Точка пересечения с лучом KM будет вершина B.
   8. Строим серединный перпендикуляр к отрезку BK. Его точка пересечения с прямой AK будет точка O.
   9. В полученном $\triangle AOB$, $AB=a$, $AO-BO=AO-OK=AK=D/2$, $\angle AOB = 180 - \angle BOK$. В равнобедренном $\triangle BOK$, $\angle KOB = 180 - 2\angle OKB = 180 - 2(180-\alpha)/2 = \alpha$. Значит $\angle AOB = 180 - \alpha$. Чтобы получить угол $\alpha$, нужно в шаге 2б строить $\angle AKM = \alpha/2$. Тогда $\angle KOB = 180 - 2(\alpha/2) = 180-\alpha$, а $\angle AOB=\alpha$.
2. Имея треугольник AOB, строим параллелограмм, как в пункте (з).

Ответ: Задача решена.

к) стороне, сумме диагонали с другой стороной и одному из углов;

Пусть дана сторона $AB=a$, сумма $AD+BD=S$ и угол $\angle DAB = \alpha$. Задача сводится к построению треугольника ABD по стороне, прилежащему углу и сумме двух других сторон.

1. Строим угол, равный $\alpha$. Обозначим его вершину A.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок AB = a.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок AK = S.
4. Соединяем точки B и K.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку BK.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком AK будет искомой вершиной D. (Так как D лежит на серединном перпендикуляре, то DB=DK. Тогда AD+DB = AD+DK = AK = S).
7. Получив треугольник ABD, достраиваем его до параллелограмма ABCD (например, проведя через B прямую, параллельную AD, и через D прямую, параллельную AB).

Ответ: Задача решена.

л) стороне, разности диагонали с другой стороной и одному из углов;

Пусть дана сторона $AB=a$, разность $D=|AD-BD|$ и угол $\angle DAB = \alpha$. Задача сводится к построению треугольника ABD.

Случай 1: AD - BD = D > 0.

1. Строим угол, равный $\alpha$, с вершиной A.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок AB = a.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок AK = D.
4. Соединяем точки B и K.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку BK.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой AK будет вершиной D. (DB=DK, поэтому AD-DB = AD-DK = AK = D).
7. Достраиваем $\triangle ABD$ до параллелограмма.

Случай 2: BD - AD = D > 0.

1. Строим угол, равный $\alpha$, с вершиной A.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок AB = a.
3. На другой стороне угла, но в направлении, противоположном лучу, откладываем отрезок AK = D (так, чтобы A оказалось между K и D).
4. Соединяем B и K.
5. Строим серединный перпендикуляр к BK. Точка его пересечения с прямой, содержащей луч, будет вершиной D. (DB=DK, BD-AD = DK-AD = AK = D).
6. Достраиваем $\triangle ABD$ до параллелограмма.

Ответ: Задача решена.

м) периметру, диагонали и углу между этой диагональю и стороной;

Пусть дан периметр P, диагональ $d_1=AC$ и угол $\angle BAC = \beta$. Половина периметра равна сумме смежных сторон $a+b = P/2$. Задача сводится к построению треугольника ABC по стороне $AC=d_1$, углу $\angle BAC = \beta$ и сумме двух других сторон $AB+BC = P/2$.

1. Строим угол, равный $\beta$, с вершиной A.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок AC = $d_1$.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок AK = $P/2$.
4. Соединяем точки C и K.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку CK.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком AK будет вершиной B. (BC=BK, поэтому AB+BC = AB+BK = AK = P/2).
7. Получив $\triangle ABC$, достраиваем его до параллелограмма ABCD.

Ответ: Задача решена.

н) одному из его углов и двум высотам;

Пусть дан угол $\alpha$ и высоты $h_a$ и $h_b$. Площадь параллелограмма $S = a \cdot h_a = b \cdot h_b$, откуда следует, что $a/b = h_b/h_a$.

1. Строим прямоугольный треугольник по катету и противолежащему углу. Пусть это будет $\triangle ADH$, где $\angle AHD = 90^\circ$, катет $DH=h_a$ и противолежащий угол $\angle DAH = \alpha$. Это даст нам сторону $b=AD$.
2. Теперь нужно построить сторону a. Используем соотношение $a = b \cdot h_b / h_a$. Это задача на построение четвертого пропорционального отрезка.
   1. Строим произвольный угол.
   2. На одной его стороне от вершины откладываем отрезки $h_a$ и $h_b$.
   3. На другой стороне откладываем отрезок b.
   4. Соединяем конец отрезка $h_a$ с концом отрезка b.
   5. Через конец отрезка $h_b$ проводим прямую, параллельную построенной. Она отсечет на второй стороне угла искомый отрезок a.
3. Теперь у нас есть две смежные стороны a, b и угол $\alpha$ между ними. Строим параллелограмм по этим данным, как в пункте (д).

Ответ: Задача решена.

о) сторонам и углу между диагоналями;

Вероятно, имеется в виду "двум сторонам и углу между диагоналями". Пусть даны стороны a, b и угол $\alpha$ между диагоналями.

1. Известны формулы, связывающие стороны и диагонали параллелограмма: $a^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 - 2(d_1/2)(d_2/2)\cos\alpha$ $b^2 = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 - 2(d_1/2)(d_2/2)\cos(180^\circ-\alpha) = (d_1/2)^2 + (d_2/2)^2 + 2(d_1/2)(d_2/2)\cos\alpha$
2. Складывая и вычитая эти уравнения, получаем: $a^2+b^2 = 2((d_1/2)^2 + (d_2/2)^2) = (d_1^2+d_2^2)/2$ $b^2-a^2 = (d_1 d_2 / 2) \cos\alpha \cdot 2 = d_1 d_2 \cos\alpha$
3. Из этих соотношений можно найти $d_1^2$ и $d_2^2$. Пусть $x=d_1^2, y=d_2^2$. Тогда $x+y=2(a^2+b^2)$ и $xy = ((b^2-a^2)/\cos\alpha)^2$. Решение этой системы уравнений сводится к построению корней квадратного уравнения, что возможно с помощью циркуля и линейки.
4. После того как длины диагоналей $d_1$ и $d_2$ будут найдены (построены), задача сводится к построению по стороне и двум диагоналям, как в пункте (б).

Ответ: Задача решена.

п) углу и двум диагоналям.

Вероятно, имеется в виду "углу параллелограмма и двум диагоналям". Пусть дан угол параллелограмма $\beta$ и диагонали $d_1, d_2$.

1. Применим теорему косинусов к треугольникам, на которые параллелограмм делится диагоналями. $d_1^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos(180^\circ-\beta) = a^2+b^2+2ab\cos\beta$ $d_2^2 = a^2+b^2 - 2ab \cos\beta$
2. Складывая и вычитая эти уравнения, получаем: $d_1^2+d_2^2 = 2(a^2+b^2)$ $d_1^2-d_2^2 = 4ab\cos\beta$
3. Из этих уравнений можно найти $a^2+b^2 = (d_1^2+d_2^2)/2$ и $ab = (d_1^2-d_2^2)/(4\cos\beta)$.
4. Зная сумму квадратов $S=a^2+b^2$ и произведение $P=ab$, можно найти сами стороны a и b. Например, $(a+b)^2 = S+2P$ и $(a-b)^2 = S-2P$. Построив отрезки $a+b$ и $a-b$, легко найти a и b.
5. После того как стороны a и b найдены, задача сводится к построению по двум сторонам и углу между ними, как в пункте (д).

Ответ: Задача решена.