Номер 734, страница 215 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

734. Прямая, проведенная через вершину $M$ прямоугольника $MNKP$, пересекает диагональ $NP$ и прямые $KP$ и $NK$ в точках $A$, $B$ и $C$ соответственно. Найдите отрезок $MA$, учитывая, что отрезки $MC$ и $MB$ соответственно равны $p$ и $q$.

Для решения задачи введем декартову систему координат. Поместим вершину $M$ прямоугольника $MNKP$ в начало координат, то есть $M(0, 0)$. Так как $MNKP$ — прямоугольник, его смежные стороны, выходящие из одной вершины, перпендикулярны. В условии задачи прямая пересекает прямые $KP$ и $NK$, что позволяет нам определить смежные стороны, выходящие из вершины $M$, как $MN$ и $MP$ (поскольку $NK$ и $KP$ — это прямые, содержащие противоположные стороны). Расположим сторону $MN$ вдоль оси $Ox$, а сторону $MP$ — вдоль оси $Oy$. Пусть длина стороны $MN$ равна $w$, а длина стороны $MP$ равна $h$. Тогда вершины прямоугольника будут иметь следующие координаты: $M(0, 0)$, $N(w, 0)$, $P(0, h)$ и $K(w, h)$.

Прямая, проведенная через вершину $M$, пересекает диагональ $NP$ в точке $A$, прямую $KP$ в точке $B$ и прямую $NK$ в точке $C$. Запишем уравнения этих прямых:

• Прямая $NK$ проходит через точки $N(w, 0)$ и $K(w, h)$. Это вертикальная прямая, ее уравнение: $x=w$.
• Прямая $KP$ проходит через точки $K(w, h)$ и $P(0, h)$. Это горизонтальная прямая, ее уравнение: $y=h$.
• Диагональ $NP$ проходит через точки $N(w, 0)$ и $P(0, h)$. Ее уравнение в отрезках имеет вид: $\frac{x}{w} + \frac{y}{h} = 1$.

Все точки $M, A, B, C$ лежат на одной прямой, проходящей через начало координат. Обозначим искомую длину отрезка $MA$ как $d$. Пусть точка $A$ имеет координаты $(x_A, y_A)$, точка $B$ — $(x_B, y_B)$, точка $C$ — $(x_C, y_C)$.

Рассмотрим подобные треугольники, образованные проекциями точек $A, B, C$ на оси координат. Из подобия следует, что отношение координат к расстоянию от начала координат постоянно для всех точек на прямой (кроме $M$):$\frac{x_A}{MA} = \frac{x_C}{MC}$ и $\frac{y_A}{MA} = \frac{y_B}{MB}$.

Точка $C$ лежит на прямой $x=w$, поэтому ее абсцисса $x_C = w$. По условию, длина отрезка $MC=p$. Подставляя эти значения в первое соотношение, получаем:$\frac{x_A}{MA} = \frac{w}{p}$, откуда $x_A = w \cdot \frac{MA}{p}$.

Точка $B$ лежит на прямой $y=h$, поэтому ее ордината $y_B = h$. По условию, длина отрезка $MB=q$. Подставляя эти значения во второе соотношение, получаем:$\frac{y_A}{MA} = \frac{h}{q}$, откуда $y_A = h \cdot \frac{MA}{q}$.

Точка $A(x_A, y_A)$ лежит на диагонали $NP$. Следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению прямой $NP$. Подставим найденные выражения для $x_A$ и $y_A$ в уравнение прямой $\frac{x}{w} + \frac{y}{h} = 1$:

$\frac{1}{w} \left(w \cdot \frac{MA}{p}\right) + \frac{1}{h} \left(h \cdot \frac{MA}{q}\right) = 1$

Упростим полученное выражение, сократив $w$ и $h$:

$\frac{MA}{p} + \frac{MA}{q} = 1$

Вынесем $MA$ за скобки:

$MA \left(\frac{1}{p} + \frac{1}{q}\right) = 1$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$MA \left(\frac{q+p}{pq}\right) = 1$

Наконец, выразим искомую длину отрезка $MA$:

$MA = \frac{pq}{p+q}$

Ответ: $MA = \frac{pq}{p+q}$.