Номер 738, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

738. Постройте квадрат по его диагонали.

Задача состоит в том, чтобы построить квадрат, имея только его диагональ. Для этого воспользуемся ключевыми свойствами диагоналей квадрата: они равны, перпендикулярны, и точка их пересечения делит каждую диагональ пополам.

Пусть дан отрезок $AC$, который является диагональю искомого квадрата $ABCD$. Вторая диагональ, $BD$, должна удовлетворять следующим условиям:

• Она должна быть равна диагонали $AC$ (то есть $BD = AC$).
• Она должна быть перпендикулярна диагонали $AC$ (то есть $BD \perp AC$).
• Она должна проходить через середину диагонали $AC$. Если $O$ — точка пересечения диагоналей, то $AO = OC = BO = OD$.

Таким образом, задача сводится к построению серединного перпендикуляра к данному отрезку $AC$ и откладыванию на этом перпендикуляре отрезков $OB$ и $OD$, равных половине длины $AC$.

Пусть дан отрезок $d$, равный длине диагонали будущего квадрата. Алгоритм построения следующий:

1. Начертить произвольную прямую и отложить на ней отрезок $AC$, равный данной диагонали $d$. Точки $A$ и $C$ будут двумя противоположными вершинами искомого квадрата.
2. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AC$. Для этого:
   1. Провести две окружности (или дуги) с центрами в точках $A$ и $C$ и одинаковым радиусом $R$, который больше половины длины отрезка $AC$ (например, можно взять радиус, равный длине $AC$).
   2. Эти окружности пересекутся в двух точках, назовем их $M$ и $N$.
   3. Провести прямую через точки $M$ и $N$. Эта прямая $MN$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$. Она пересекает отрезок $AC$ в его середине, точке $O$.
3. Найти две другие вершины квадрата, $B$ и $D$. Они должны лежать на прямой $MN$ на расстоянии от точки $O$, равном половине диагонали (то есть равном $AO$ или $OC$). Для этого:
   1. Измерить циркулем расстояние $AO$.
   2. Провести окружность с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$.
   3. Эта окружность пересечет прямую $MN$ в двух точках. Обозначим их $B$ и $D$. Эти точки и будут двумя другими вершинами квадрата.
4. Соединить последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$ отрезками. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым квадратом.

Рассмотрим построенный четырехугольник $ABCD$.

• По построению, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.
• Прямая $BD$ (совпадающая с прямой $MN$) является серединным перпендикуляром к $AC$. Следовательно, $AC \perp BD$ и $AO = OC$.
• Точки $B$ и $D$ были построены на окружности с центром $O$ и радиусом $OA$. Следовательно, $OB = OD = OA$.
• Из предыдущих пунктов следует, что $AO = OC = OB = OD$. Это означает, что диагонали точкой пересечения делятся пополам и равны между собой ($AC = AO+OC=2AO$, а $BD = BO+OD=2BO=2AO$, значит $AC=BD$).

Четырехугольник, диагонали которого равны, перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, является квадратом.
Также можно доказать это через свойства треугольников. Треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$ и $\triangle DOA$ равны по двум катетам ($AO=BO=CO=DO$ и углы при вершине $O$ прямые). Следовательно, их гипотенузы равны: $AB = BC = CD = DA$. Это означает, что $ABCD$ — ромб. А так как у этого ромба диагонали равны ($AC=BD$), то он является квадратом.

Ответ: Построение квадрата по его диагонали выполняется согласно приведенному алгоритму. Построенная фигура $ABCD$ является квадратом, что подтверждено доказательством.