Номер 736, страница 216 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

736. Постройте прямоугольник по его:

а) диагонали и углу между диагоналями;

б) стороне и сумме диагоналей;

в) диагонали и сумме смежных сторон;

г) его диагонали и разности смежных сторон;

д) стороне и углу между диагоналями;

е) стороне и сумме диагонали с другой стороной;

ж) стороне и разности диагонали с другой стороной.

а) по его диагонали и углу между диагоналями;

Пусть дан отрезок, равный диагонали $d$, и угол $\alpha$. Диагонали прямоугольника равны, делятся точкой пересечения пополам и образуют в точке пересечения заданный угол $\alpha$. Пусть точка $O$ — точка пересечения диагоналей прямоугольника $ABCD$. Тогда треугольник $AOB$ является равнобедренным, где боковые стороны $AO = BO = d/2$, а угол при вершине $\angle AOB = \alpha$. Построение прямоугольника сводится к построению этого треугольника и последующему достроению до прямоугольника.

План построения:

1. Построить отрезок, равный половине диагонали $d/2$. Для этого нужно разделить данный отрезок $d$ пополам с помощью циркуля и линейки (построив серединный перпендикуляр).
2. Построить угол, равный данному углу $\alpha$. Пусть его вершина — точка $O$.
3. На сторонах угла отложить от вершины $O$ отрезки $OA$ и $OB$, равные $d/2$.
4. Провести прямую через точки $A$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OC = OA$ так, чтобы точка $O$ лежала между $A$ и $C$.
5. Аналогично провести прямую через точки $B$ и $O$ и отложить на ней от точки $O$ отрезок $OD = OB$ так, чтобы точка $O$ лежала между $B$ и $D$.
6. Последовательно соединить точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Доказательство: По построению диагонали $AC = AO+OC = d/2+d/2 = d$ и $BD = BO+OD = d/2+d/2 = d$. Они равны и точкой пересечения $O$ делятся пополам. Четырехугольник, у которого диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, является прямоугольником. Угол между диагоналями $\angle AOB = \alpha$.

Ответ: Построение сводится к построению равнобедренного треугольника по двум сторонам $d/2$ и углу $\alpha$ между ними, а затем симметричному отображению его вершин относительно точки пересечения диагоналей.

б) по стороне и сумме диагоналей;

Диагонали прямоугольника равны. Пусть длина диагонали равна $d$. Тогда сумма диагоналей равна $2d$. Таким образом, задача сводится к построению прямоугольника по стороне $a$ и диагонали $d$. Длину диагонали $d$ можно получить, разделив данный отрезок (сумму диагоналей) пополам.

Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник со стороной $AB = a$ и диагональю $AC = d$. Треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$. Мы знаем катет $AB=a$ и гипотенузу $AC=d$.

План построения:

1. Построить отрезок $d$, разделив пополам отрезок, равный сумме диагоналей.
2. Построить отрезок $AB$ длиной $a$.
3. В точке $B$ восставить перпендикуляр к отрезку $AB$.
4. Провести окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.
5. Точка пересечения перпендикуляра и окружности будет вершиной $C$.
6. Для нахождения четвертой вершины $D$ можно построить прямую, проходящую через $C$ и параллельную $AB$, и прямую, проходящую через $A$ и параллельную $BC$. Точка их пересечения и будет вершиной $D$.
7. Соединить вершины. $ABCD$ — искомый прямоугольник.

Ответ: Задача сводится к построению прямоугольника по стороне $a$ и диагонали $d$, где $d$ равно половине данной суммы. Построение осуществляется построением прямоугольного треугольника по катету $a$ и гипотенузе $d$.

в) по диагонали и сумме смежных сторон;

Пусть даны диагональ $d$ и сумма смежных сторон $S = a+b$. Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. Продлим сторону $AB$ за точку $B$ и отложим на продолжении отрезок $BE=BC=b$. Тогда $AE = AB+BE = a+b = S$. Рассмотрим треугольник $AEC$. Мы знаем сторону $AE = S$ и сторону $AC = d$. Так как треугольник $EBC$ — прямоугольный ($ \angle EBC = 90^\circ $) и равнобедренный ($BE=BC$), то угол $\angle BEC = 45^\circ$. Таким образом, задача сводится к построению треугольника $AEC$ по двум сторонам $AE=S$, $AC=d$ и углу $\angle AEC = 45^\circ$, который не лежит между ними.

План построения:

1. Построить отрезок $AE$ длиной $S$.
2. От луча $EA$ в точке $E$ отложить угол $45^\circ$.
3. Провести окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.
4. Точка пересечения окружности и стороны угла (не $EA$) будет вершиной $C$.
5. Из точки $C$ опустить перпендикуляр на прямую $AE$. Основание перпендикуляра будет вершиной $B$.
6. Достроить прямоугольник $ABCD$ по трем известным вершинам.

Доказательство: По построению, $\angle CBE = 90^\circ$ и $\angle CEB=45^\circ$, значит $\triangle CBE$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и $BC=BE$. Пусть $AB=a'$ и $BC=b'$. Тогда $BE=b'$ и $AE=AB+BE=a'+b'$. Так как $AE=S$ по построению, то $a'+b'=S$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC=d$ по построению. Таким образом, построенный прямоугольник удовлетворяет условиям.

Ответ: Построение сводится к нахождению сторон прямоугольника $a$ и $b$ через вспомогательный треугольник со сторонами $S=a+b$, $d$ и углом $45^\circ$.

г) по его диагонали и разности смежных сторон;

Пусть даны диагональ $d$ и разность смежных сторон $D = a-b$ (предполагаем $a>b$). Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник со сторонами $AB=a$ и $BC=b$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$. На стороне $AB$ отложим отрезок $AE=BC=b$. Тогда $EB = AB-AE = a-b = D$. Рассмотрим треугольник $EBC$. Он прямоугольный ($\angle EBC = 90^\circ$) и равнобедренный ($AE$ откладывается на $AB$, так что $B$ между $A$ и $E$? Нет). Рассмотрим другой подход. На стороне $AB$ отложим отрезок $AK=a-b=D$. Нет. Возьмем прямоугольный треугольник $ABC$. На луче $AB$ отложим отрезок $AE = a-b = D$. Рассмотрим треугольник $AEC$. В нем известны стороны $AC=d$ и $AE=D$. Чтобы его построить, нужен угол. Рассмотрим треугольник $EBC$, где $EB=AB-AE = a-(a-b) = b$. $BC=b$. Значит, треугольник $EBC$ - равнобедренный прямоугольный. Следовательно, $\angle BEC = 45^\circ$. Угол $\angle AEC$ является внешним к $\angle BEC$, поэтому $\angle AEC = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

План построения:

1. Построить отрезок $AE$ длиной $D$.
2. От луча $EA$ в точке $E$ отложить угол $135^\circ$.
3. Провести окружность с центром в точке $A$ и радиусом $d$.
4. Точка пересечения окружности и стороны угла будет вершиной $C$.
5. Из точки $C$ опустить перпендикуляр на прямую $AE$. Основание перпендикуляра будет вершиной $B$.
6. Достроить прямоугольник $ABCD$ по трем известным вершинам.

Доказательство: По построению, $\angle CBE = 90^\circ$. Угол $\angle CEB = 180^\circ - \angle AEC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$. Значит, $\triangle CBE$ — равнобедренный прямоугольный, и $BC=BE$. Пусть $BC=b'$ и $AB=a'$. Тогда $BE=b'$. $AE=AB-BE = a'-b'$. Так как $AE=D$ по построению, то $a'-b'=D$. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AC=d$ по построению. Прямоугольник удовлетворяет условиям.

Ответ: Построение сводится к нахождению сторон прямоугольника через вспомогательный треугольник со сторонами $D=a-b$, $d$ и углом $135^\circ$.

д) по стороне и углу между диагоналями;

Пусть дана сторона $a$ и угол $\alpha$ между диагоналями. Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник, $O$ — точка пересечения диагоналей, $AB=a$. Треугольник $AOB$ — равнобедренный ($AO=BO=d/2$), с основанием $AB=a$ и углом при вершине $O$, равным $\alpha$. Углы при основании этого треугольника равны: $\angle OAB = \angle OBA = (180^\circ - \alpha)/2 = 90^\circ - \alpha/2$.

План построения:

1. Построить отрезок $AB$ длиной $a$.
2. Построить угол $90^\circ - \alpha/2$ (для этого нужно построить $\alpha/2$, затем вычесть его из прямого угла).
3. В точке $A$ отложить от луча $AB$ угол, равный $90^\circ - \alpha/2$.
4. В точке $B$ отложить от луча $BA$ угол, равный $90^\circ - \alpha/2$.
5. Точка пересечения построенных лучей будет центром прямоугольника $O$.
6. Дальнейшее построение аналогично пункту (а): продлить $AO$ до $C$ так, что $OC=AO$, и $BO$ до $D$ так, что $OD=BO$.
7. Соединить вершины $A,B,C,D$.

Ответ: Построение сводится к построению равнобедренного треугольника по основанию $a$ и прилежащим к нему углам $90^\circ - \alpha/2$, который является половиной искомого прямоугольника, разделенного по диагонали.

е) по стороне и сумме диагонали с другой стороной;

Пусть даны сторона $a$ и сумма $S=d+b$. Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник со сторонами $AB=a$, $BC=b$ и диагональю $AC=d$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$, где $\angle B=90^\circ$, катет $AB=a$, а другой катет $BK = S = d+b$. Точка $C$ искомого прямоугольника лежит на отрезке $BK$. В треугольнике $ACK$ сторона $AC=d$. Сторона $CK = BK-BC = S-b = (d+b)-b = d$. Значит, треугольник $ACK$ — равнобедренный с основанием $AK$ и равными сторонами $AC=CK$. Вершина $C$ равнобедренного треугольника лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AK$.

План построения:

1. Построить прямой угол с вершиной $B$.
2. На одной стороне угла отложить отрезок $BA=a$.
3. На другой стороне угла отложить отрезок $BK=S$.
4. Соединить точки $A$ и $K$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AK$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с отрезком $BK$ будет вершиной $C$.
7. Достроить прямоугольник $ABCD$ по трем известным вершинам.

Ответ: Построение сводится к построению вспомогательного прямоугольного треугольника $ABK$ с катетами $a$ и $S=d+b$, и нахождению вершины $C$ на катете $BK$ как точки, равноудаленной от вершин $A$ и $K$.

ж) по стороне и разности диагонали с другой стороной.

Пусть даны сторона $a$ и разность $D=d-b$. Пусть $ABCD$ — искомый прямоугольник со сторонами $AB=a$, $BC=b$ и диагональю $AC=d$. Рассмотрим вспомогательный прямоугольный треугольник $ABK$, где $\angle B=90^\circ$, катет $AB=a$ и катет $BK=D$. Точка $C$ искомого прямоугольника лежит на луче $BK$ так, что $B$ находится между $K$ и $C$. В треугольнике $ACK$ сторона $AC=d$. Сторона $CK = CB+BK = b+D$. Из условия $d-b=D$ следует, что $d=b+D$. Таким образом, $AC=CK=b+D$. Это означает, что треугольник $ACK$ — равнобедренный с основанием $AK$. Вершина $C$ лежит на серединном перпендикуляре к основанию $AK$.

План построения:

1. Построить прямой угол с вершиной $B$.
2. На одной стороне угла отложить отрезок $BA=a$.
3. На другой стороне угла отложить отрезок $BK=D$.
4. Соединить точки $A$ и $K$.
5. Построить серединный перпендикуляр к отрезку $AK$.
6. Точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $BK$ будет вершиной $C$.
7. Достроить прямоугольник $ABCD$ по трем известным вершинам.

Ответ: Построение сводится к построению вспомогательного прямоугольного треугольника $ABK$ с катетами $a$ и $D=d-b$, и нахождению вершины $C$ на прямой $BK$ как точки, равноудаленной от вершин $A$ и $K$.