Номер 739, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

739. Через вершину параллелограмма проведите прямую так, чтобы расстояние до нее от противоположной вершины было равно сумме или разности расстояний до этой прямой от двух других вершин параллелограмма, учитывая, что прямая через внутреннюю точку параллелограмма:

а) проходит;

б) не проходит.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Проведем через вершину $A$ произвольную прямую $l$. Обозначим расстояния от вершин $B, C, D$ до прямой $l$ как $h_B, h_C, h_D$ соответственно. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Точка $O$ является серединой обеих диагоналей.

Рассмотрим расстояние от точки $O$ до прямой $l$, обозначим его $h_O$. Так как точка $A$ лежит на прямой $l$, а $O$ — середина отрезка $AC$, то расстояние $h_O$ равно половине расстояния $h_C$. Это следует из подобия треугольников или из свойства средней линии. Таким образом, всегда выполняется соотношение:$$h_O = \frac{h_C}{2}$$

Теперь рассмотрим диагональ $BD$. Точка $O$ — середина $BD$. Расстояние от $O$ до прямой $l$ связано с расстояниями от $B$ и $D$ до этой же прямой. Здесь возможны два случая.

1. Если точки $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $l$, то отрезок, определяющий расстояние $h_O$, является средней линией трапеции, основаниями которой являются отрезки, определяющие расстояния $h_B$ и $h_D$. В этом случае: $$h_O = \frac{h_B + h_D}{2}$$ Приравнивая два выражения для $h_O$, получаем: $$\frac{h_C}{2} = \frac{h_B + h_D}{2} \implies h_C = h_B + h_D$$
2. Если точки $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $l$, то расстояние $h_O$ вычисляется по формуле: $$h_O = \frac{|h_B - h_D|}{2}$$ Приравнивая два выражения для $h_O$, получаем: $$\frac{h_C}{2} = \frac{|h_B - h_D|}{2} \implies h_C = |h_B - h_D|$$

Теперь рассмотрим два подпункта задачи.

а) прямая проходит через внутреннюю точку параллелограмма

Если прямая $l$, проведенная через вершину $A$, проходит через внутреннюю точку параллелограмма, она обязательно пересекает диагональ $BD$. Это означает, что вершины $B$ и $D$ лежат по разные стороны от прямой $l$.

Как показано выше, в этом случае выполняется равенство $h_C = |h_B - h_D|$. То есть расстояние от противоположной вершины $C$ равно разности расстояний от двух других вершин $B$ и $D$.

Это условие выполняется для любой прямой, проходящей через вершину $A$ и внутреннюю точку параллелограмма. В качестве примера такой прямой можно взять прямую, содержащую диагональ $AC$. Для этой прямой $h_C=0$. Так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, то расстояния от вершин $B$ и $D$ до диагонали $AC$ равны, то есть $h_B=h_D$. Тогда равенство $h_C = |h_B - h_D|$ превращается в верное равенство $0 = |h_B - h_B| = 0$.

Ответ: Искомая прямая — это любая прямая, проходящая через вершину параллелограмма и его внутреннюю область. Например, прямая, содержащая диагональ, исходящую из этой же вершины.

б) прямая не проходит через внутреннюю точку параллелограмма

Если прямая $l$, проведенная через вершину $A$, не проходит через внутреннюю точку параллелограмма, это означает, что вся фигура (за исключением самой вершины $A$) лежит по одну сторону от этой прямой. Следовательно, и вершины $B$ и $D$ лежат по одну сторону от прямой $l$. (Частный случай: одна из вершин, $B$ или $D$, лежит на самой прямой $l$, если $l$ совпадает со стороной $AB$ или $AD$).

Как показано выше, в этом случае выполняется равенство $h_C = h_B + h_D$. То есть расстояние от противоположной вершины $C$ равно сумме расстояний от двух других вершин $B$ и $D$.

Это условие выполняется для любой прямой, проходящей через вершину $A$ и не пересекающей внутренность параллелограмма. В качестве примера можно взять прямую, содержащую сторону $AB$. Для этой прямой расстояние от вершины $B$ равно нулю ($h_B = 0$). Расстояния от вершин $C$ и $D$ до прямой $AB$ равны высоте параллелограмма, проведенной к этой стороне, то есть $h_C = h_D$. Тогда равенство $h_C = h_B + h_D$ превращается в верное равенство $h_C = 0 + h_C$.

Ответ: Искомая прямая — это любая прямая, проходящая через вершину параллелограмма и не пересекающая его внутреннюю область. Например, прямая, содержащая любую из сторон, исходящих из этой вершины.