Номер 746, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

746. Постройте треугольник по его:

а) двум сторонам и радиусу описанной окружности;

б) стороне, проведенной к ней высоте и радиусу описанной окружности;

в) стороне, прилежащему к ней углу и радиусу описанной окружности;

г) двум углам и радиусу описанной окружности;

д) стороне, проведенной к ней медиане и радиусу описанной окружности;

е) высоте, углу и радиусу описанной окружности;

ж) стороне, высоте, проведенной к другой стороне, и радиусу описанной окружности;

з) высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и радиусу описанной окружности;

и) двум углам и радиусу вписанной окружности;

к) стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности;

л) стороне, высоте, проведенной к другой стороне, и радиусу вписанной окружности;

м) высоте, углу, из которого она проведена, и радиусу вписанной окружности;

н) стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности;

о) углу и радиусам описанной и вписанной окружностей;

п) двум углам и радиусу вневписанной окружности, расположенной против третьего угла;

р) углу, радиусу вневписанной окружности, расположенной против этого угла, и высоте, проведенной из другого угла;

с) углу, радиусу описанной окружности и сумме (разности) двух сторон, из которых одна расположена против данного угла;

т) радиусу вписанной окружности, его углу и отрезку, который равен сумме стороны против этого угла и еще одной стороны, уменьшенной на третью сторону.

а) двум сторонам и радиусу описанной окружности

Пусть даны стороны $a$, $b$ и радиус описанной окружности $R$. Требуется построить треугольник $ABC$.

Анализ: Зная радиус описанной окружности $R$, мы можем построить ее. Вершины треугольника $A$, $B$, $C$ лежат на этой окружности. Стороны $a$ и $b$ являются хордами этой окружности. Если мы зафиксируем одну вершину, например $C$, то две другие вершины, $A$ и $B$, будут находиться на заданных расстояниях $b$ и $a$ от $C$ соответственно и лежать на окружности.

План построения:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром в произвольной точке $O$ и радиусом $R$.
2. Выбрать на окружности $\Omega$ произвольную точку $C$.
3. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $a$. Точка ее пересечения с окружностью $\Omega$ будет вершиной $B$. (Если $a > 2R$, решения нет; если $a = 2R$, то $B$ — точка, диаметрально противоположная $C$; если $a < 2R$, то существует два решения, выберем одно).
4. Построить окружность с центром в точке $C$ и радиусом $b$. Точка ее пересечения с окружностью $\Omega$ будет вершиной $A$. (Аналогичные условия существования решения для $b$).
5. Соединить точки $A$, $B$, $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по указанному плану, является искомым, так как его вершины лежат на окружности радиуса $R$, а стороны $BC$ и $AC$ равны $a$ и $b$ соответственно. Задача имеет решение, если $a \le 2R$ и $b \le 2R$.

б) стороне, проведенной к ней высоте и радиусу описанной окружности

Пусть даны сторона $a$, проведенная к ней высота $h_a$ и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Все вершины треугольника лежат на описанной окружности радиуса $R$. Мы можем построить эту окружность и поместить в нее хорду $BC$ длиной $a$. Вершина $A$ должна лежать на этой окружности. Также известно, что расстояние от вершины $A$ до прямой $BC$ равно $h_a$. Геометрическое место точек, удаленных на расстояние $h_a$ от прямой $BC$, — это две прямые, параллельные $BC$. Пересечение этих прямых с описанной окружностью даст вершину $A$.

План построения:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Провести в ней хорду $BC$ длиной $a$. (Для этого можно выбрать точку $B$ на $\Omega$ и найти $C$ как пересечение $\Omega$ с окружностью с центром $B$ и радиусом $a$).
3. Построить прямую $l$, параллельную $BC$ и находящуюся на расстоянии $h_a$ от нее. (Для этого нужно восстановить перпендикуляр к $BC$, отложить на нем отрезок $h_a$ и провести через его конец прямую, параллельную $BC$).
4. Точка пересечения прямой $l$ и окружности $\Omega$ есть вершина $A$. (Задача может иметь до двух решений, если прямая $l$ пересекает окружность в двух точках).
5. Соединить точки $A$, $B$, $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по указанному плану, является искомым. Задача имеет решение, если прямая, удаленная на $h_a$ от хорды $BC$, пересекает окружность.

в) стороне, прилежащему к ней углу и радиусу описанной окружности

Пусть даны сторона $a$, прилежащий к ней угол $\beta$ и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Построим описанную окружность $\Omega$ радиуса $R$. Поместим в нее хорду $BC$ длиной $a$. Вершина $B$ является вершиной заданного угла $\beta$. Сторона $AB$ должна образовывать угол $\beta$ со стороной $BC$. Вершина $A$ при этом должна лежать на окружности $\Omega$.

План построения:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбрать на $\Omega$ произвольную точку $B$.
3. Построить хорду $BC$ длиной $a$, найдя $C$ как пересечение $\Omega$ с окружностью с центром $B$ и радиусом $a$.
4. В точке $B$ построить луч, образующий с отрезком $BC$ угол $\beta$ (направленный внутрь треугольника).
5. Точка пересечения этого луча с окружностью $\Omega$ (отличная от $B$) является вершиной $A$.
6. Соединить точки $A$, $B$, $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если $a \le 2R$.

г) двум углам и радиусу описанной окружности

Пусть даны два угла $\alpha$, $\beta$ и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Третий угол треугольника $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$. Длины сторон можно найти по теореме синусов: $a = 2R\sin\alpha$, $b = 2R\sin\beta$, $c = 2R\sin\gamma$. Однако проще построить треугольник, используя свойства центральных и вписанных углов. Центральный угол вдвое больше соответствующего ему вписанного угла.

План построения:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Выбрать на $\Omega$ произвольную точку $A$.
3. Построить радиус $OB$ так, чтобы центральный угол $\angle AOB$ был равен $2\gamma$. Для этого откладываем угол $2\gamma$ от радиуса $OA$.
4. Построить радиус $OC$ так, чтобы центральный угол $\angle AOC$ был равен $2\beta$. Угол откладывается в полуплоскости, отличной от той, где лежит $B$, относительно прямой $AO$.
5. Соединить точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый. Углы $\angle BAC$, $\angle ABC$, $\angle BCA$ будут равны $\alpha, \beta, \gamma$ по свойству вписанных углов, так как они опираются на дуги, стягиваемые хордами с центральными углами $2\alpha, 2\beta, 2\gamma$ (где $\angle BOC = 360^\circ - 2\beta - 2\gamma = 2(180^\circ - \beta - \gamma) = 2\alpha$).

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по данному плану, является искомым.

д) стороне, проведенной к ней медиане и радиусу описанной окружности

Пусть даны сторона $a$, проведенная к ней медиана $m_a$ и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Построим описанную окружность $\Omega$ и поместим в нее хорду $BC$ длиной $a$. Вершина $A$ лежит на $\Omega$. Медиана $AM_a$ соединяет вершину $A$ с серединой $M_a$ стороны $BC$. Длина медианы $m_a$ задана. Значит, вершина $A$ удалена от точки $M_a$ на расстояние $m_a$.

План построения:

1. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
2. Провести в ней хорду $BC$ длиной $a$.
3. Построить середину $M_a$ отрезка $BC$.
4. Построить окружность с центром в точке $M_a$ и радиусом $m_a$.
5. Точка пересечения этой окружности с окружностью $\Omega$ является вершиной $A$. (Задача может иметь до двух решений).
6. Соединить точки $A, B, C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если построенная на шаге 4 окружность пересекает окружность $\Omega$.

е) высоте, углу и радиусу описанной окружности

Пусть даны высота $h_c$, угол $\gamma$, из вершины которого она проведена, и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Из теоремы синусов, сторона $c$, противолежащая углу $\gamma$, равна $c = 2R\sin\gamma$. Мы можем построить отрезок такой длины. После этого задача сводится к построению треугольника по стороне $c$, проведенной к ней высоте $h_c$ и радиусу описанной окружности $R$. Это в точности задача (б), если поменять обозначения.

План построения:

1. Построить отрезок длины $c=2R\sin\gamma$. Для этого можно построить прямоугольный треугольник с гипотенузой $2R$ и углом $\gamma$. Катет, противолежащий этому углу, будет иметь длину $c$.
2. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
3. Провести в ней хорду $AB$ длиной $c$.
4. Построить прямую $l$, параллельную $AB$ и отстоящую от нее на расстояние $h_c$.
5. Точка пересечения прямой $l$ и окружности $\Omega$ есть вершина $C$.
6. Соединить точки $A, B, C$.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по данному плану, является искомым.

ж) стороне, высоте, проведенной к другой стороне, и радиусу описанной окружности

Пусть даны сторона $a$, высота $h_b$ (проведенная к стороне $b$) и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Из формулы площади треугольника $S = \frac{abc}{4R}$ и $S = \frac{1}{2}b h_b$ следует, что $\frac{abc}{4R} = \frac{1}{2}b h_b$, откуда $ac=2Rh_b$. Также из теоремы синусов $a = 2R\sin\alpha$. Подставив это в предыдущее равенство, получим $(2R\sin\alpha)c = 2Rh_b$, что дает $c\sin\alpha = h_b$. Это очевидно из рассмотрения прямоугольного треугольника с гипотенузой $c$ и катетом $h_b$. Из равенства $ac=2Rh_b$ можно выразить сторону $c$: $c = \frac{2Rh_b}{a}$. Мы можем построить отрезок $c$ как четвертый пропорциональный. После этого задача сводится к построению треугольника по двум сторонам $a, c$ и радиусу $R$, что является вариантом задачи (а).

План построения:

1. Построить отрезок $c$, длина которого равна $\frac{2Rh_b}{a}$, используя построение четвертого пропорционального отрезка.
2. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
3. Выбрать на $\Omega$ произвольную точку $B$.
4. Построить окружность с центром $B$ и радиусом $a$. Точка ее пересечения с $\Omega$ будет вершиной $C$.
5. Построить окружность с центром $B$ и радиусом $c$. Точка ее пересечения с $\Omega$ будет вершиной $A$.
6. Соединить точки $A, B, C$.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по данному плану, является искомым.

з) высоте и биссектрисе, проведенным из одной вершины, и радиусу описанной окружности

Пусть даны высота $h_a$, биссектриса $l_a$, проведенные из вершины $A$, и радиус описанной окружности $R$.

Анализ: Пусть $AH$ - высота, $AL$ - биссектриса. В прямоугольном треугольнике $AHL$ известны гипотенуза $AL=l_a$ и катет $AH=h_a$. Мы можем построить этот треугольник, определив тем самым вершину $A$ и прямую, содержащую сторону $BC$. Известен факт, что биссектриса угла треугольника является также биссектрисой угла между высотой и радиусом описанной окружности, проведенными из той же вершины. То есть, $\angle HAL = \angle OAL$, где $O$ - центр описанной окружности. Это значит, что луч $AO$ симметричен лучу $AH$ относительно прямой $AL$.

План построения:

1. Построить прямоугольный треугольник $AHL$ по катету $AH = h_a$ и гипотенузе $AL = l_a$.
2. Это определяет положение вершины $A$ и прямой $HL$, на которой лежит сторона $BC$.
3. Построить луч $AO$, симметричный лучу $AH$ относительно прямой $AL$.
4. На луче $AO$ отложить отрезок $AO=R$. Точка $O$ - центр описанной окружности.
5. Построить окружность $\Omega$ с центром $O$ и радиусом $R$.
6. Точки пересечения окружности $\Omega$ с прямой $HL$ являются вершинами $B$ и $C$.
7. Соединить точки $A, B, C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если $l_a \ge h_a$.

и) двум углам и радиусу вписанной окружности

Пусть даны два угла $\alpha$, $\beta$ и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: Третий угол $\gamma = 180^\circ - \alpha - \beta$. Центр вписанной окружности $I$ равноудален от сторон треугольника. Углы между радиусами, проведенными в точки касания, и сторонами треугольника связаны с углами треугольника. Например, если $D, E, F$ - точки касания на сторонах $BC, AC, AB$ соответственно, то $\angle FIE = 180^\circ - \alpha$.

План построения:

1. Построить окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$.
2. Выбрать на $\omega$ произвольную точку $E$.
3. Провести через точку $E$ касательную $b$ к окружности $\omega$. На этой прямой будет лежать сторона $AC$.
4. Построить радиус $IF$ так, чтобы $\angle FIE = 180^\circ - \alpha$.
5. Провести через точку $F$ касательную $c$ к окружности $\omega$. Пересечение прямых $b$ и $c$ даст вершину $A$.
6. Построить радиус $ID$ так, чтобы $\angle EID = 180^\circ - \gamma$.
7. Провести через точку $D$ касательную $a$ к окружности $\omega$. Пересечение прямых $a$ и $b$ даст вершину $C$, а пересечение $a$ и $c$ - вершину $B$.
8. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по данному плану, является искомым.

к) стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности

Пусть даны сторона $a$ (пусть это $BC$), прилежащий к ней угол $\beta$ и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: Центр вписанной окружности $I$ лежит на пересечении биссектрис углов. Он удален от стороны $BC$ на расстояние $r$. Также он лежит на биссектрисе угла $B$, которая образует угол $\beta/2$ со стороной $BC$. Это позволяет однозначно определить положение центра $I$.

План построения:

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Построить прямую $l$, параллельную $BC$ и отстоящую от нее на расстояние $r$ (в той полуплоскости, где предполагается треугольник).
3. В точке $B$ построить луч, образующий с $BC$ угол $\beta/2$.
4. Точка пересечения этого луча и прямой $l$ есть центр вписанной окружности $I$.
5. Построить вписанную окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$.
6. Провести из точки $C$ касательную к окружности $\omega$ (отличную от прямой $BC$).
7. Провести из точки $B$ луч, образующий с $BC$ угол $\beta$.
8. Точка пересечения касательной из шага 6 и луча из шага 7 есть вершина $A$.
9. Соединить $A, B, C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

л) стороне, высоте, проведенной к другой стороне, и радиусу вписанной окружности

Пусть даны сторона $a$ (пусть это $BC$), высота $h_c$ (к стороне $c=AB$) и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной $C$, стороной $BC=a$ и высотой $h_c$, опущенной на прямую $AB$. В этом треугольнике (если $\angle B$ острый) гипотенуза - $BC$, а катет, противолежащий углу $B$, - $h_c$. Отсюда $\sin\beta = h_c/a$. Это соотношение верно и для тупого угла $\beta$. Таким образом, мы можем найти (построить) угол $\beta$. Задача сводится к построению треугольника по стороне $a$, углу $\beta$ и радиусу вписанной окружности $r$, что является задачей (к).

План построения:

1. Построить угол $\beta$ такой, что $\sin\beta = h_c/a$. Для этого строим прямоугольный треугольник с гипотенузой $a$ и катетом $h_c$. Угол, противолежащий катету $h_c$, будет равен $\beta$. (Возможны два решения: $\beta$ и $180^\circ - \beta$, если $h_c < a$).
2. Теперь имеем $a, \beta, r$. Выполняем построение из задачи (к):
3. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
4. Найти центр вписанной окружности $I$ как пересечение прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $r$, и биссектрисы угла $\beta$, построенного у вершины $B$.
5. Построить вписанную окружность $\omega(I, r)$.
6. Провести из $C$ касательную к $\omega$.
7. Провести из $B$ луч под углом $\beta$ к $BC$. Пересечение этого луча и касательной дает вершину $A$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если $h_c \le a$.

м) высоте, углу, из которого она проведена, и радиусу вписанной окружности

Пусть даны высота $h_a$, угол $\alpha$, из вершины которого она проведена, и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: Вершина $A$ находится на расстоянии $h_a$ от прямой $BC$. Центр вписанной окружности $I$ находится на расстоянии $r$ от прямой $BC$. Значит, расстояние по перпендикуляру к $BC$ между $A$ и $I$ равно $h_a - r$. С другой стороны, расстояние от вершины $A$ до центра $I$ определяется как $AI = r / \sin(\alpha/2)$. Таким образом, мы можем найти положение точек $A$ и $I$ относительно друг друга и прямой $BC$.

План построения:

1. Построить отрезок $d = AI$, равный $r / \sin(\alpha/2)$. Для этого строим прямоугольный треугольник с катетом $r$ и противолежащим углом $\alpha/2$. Гипотенуза этого треугольника равна $d$.
2. Провести две параллельные прямые $l_A$ и $l_I$ на расстоянии $h_a-r$ друг от друга.
3. Выбрать на прямой $l_A$ произвольную точку $A$.
4. Построить окружность с центром в $A$ и радиусом $d$. Точка (или точки) ее пересечения с прямой $l_I$ есть центр вписанной окружности $I$. (Задача имеет решение, если $d \ge h_a-r$).
5. Построив $I$, строим вписанную окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$.
6. Из точки $A$ проводим две касательные к окружности $\omega$. Это прямые, содержащие стороны $AB$ и $AC$.
7. Строим третью (общую внутреннюю) касательную к окружностям $\omega$ и $\omega'$, где $\omega'$ - образ $\omega$ при симметрии относительно $A$. Проще: строим прямую, перпендикулярную $AI$ на определенном расстоянии. Самый простой способ найти прямую $BC$ — это построить прямую, касающуюся $\omega$ и параллельную $l_A$ (и $l_I$) на расстоянии $r$ от $l_I$.
8. Пересечения этой касательной с касательными из точки $A$ дают вершины $B$ и $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если $r/\sin(\alpha/2) \ge h_a-r$.

н) стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности

Пусть даны сторона $a$ (пусть это $BC$), противолежащий ей угол $\alpha$ и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: Центр вписанной окружности $I$ равноудален от сторон $AB$ и $AC$, а также удален на расстояние $r$ от стороны $BC$. Угол, под которым видна сторона $BC$ из центра $I$, равен $\angle BIC = 180^\circ - (\beta+\gamma)/2 = 90^\circ + \alpha/2$. Таким образом, точка $I$ лежит на пересечении двух геометрических мест: прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $r$, и дуги окружности, из которой отрезок $BC$ виден под углом $90^\circ + \alpha/2$.

План построения:

1. Построить отрезок $BC$ длиной $a$.
2. Построить геометрическое место точек (дугу окружности), из которых отрезок $BC$ виден под углом $90^\circ + \alpha/2$.
3. Построить прямую $l$, параллельную $BC$ и отстоящую от нее на расстояние $r$.
4. Точка пересечения дуги и прямой $l$ есть центр вписанной окружности $I$.
5. Построить вписанную окружность $\omega$ с центром $I$ и радиусом $r$.
6. Провести из точек $B$ и $C$ касательные к окружности $\omega$ (отличные от прямой $BC$).
7. Точка пересечения этих касательных есть вершина $A$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение, если построенные ГМТ пересекаются.

о) углу и радиусам описанной и вписанной окружностей

Пусть даны угол $\alpha$, радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ: По теореме синусов сторона $a$, противолежащая углу $\alpha$, равна $a = 2R\sin\alpha$. Мы можем построить отрезок этой длины. После этого задача сводится к построению треугольника по стороне $a$, противолежащему углу $\alpha$ и радиусу вписанной окружности $r$, что является задачей (н).

План построения:

1. Построить отрезок $a=2R\sin\alpha$ (как в задаче (е)).
2. Имея $a, \alpha, r$, выполнить построение из задачи (н).
3. Построить отрезок $BC=a$.
4. Найти центр $I$ как пересечение дуги, из которой $BC$ виден под углом $90^\circ+\alpha/2$, и прямой, параллельной $BC$ на расстоянии $r$.
5. Построить вписанную окружность и провести касательные из $B$ и $C$ для нахождения вершины $A$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым. Задача имеет решение при выполнении условия $r \le 2R\sin^2(\alpha/2)$.

п) двум углам и радиусу вневписанной окружности, расположенной против третьего угла

Пусть даны углы $\alpha, \beta$ и радиус вневписанной окружности $r_c$, касающейся стороны $c$ и продолжений сторон $a$ и $b$.

Анализ: Третий угол $\gamma=180^\circ-\alpha-\beta$. Длина стороны $c$ связана с $r_c$ и углами $\alpha, \beta$ формулой $c = r_c(\cot(\alpha/2) + \cot(\beta/2))$. Мы можем построить отрезки $r_c\cot(\alpha/2)$ и $r_c\cot(\beta/2)$ как катеты прямоугольных треугольников, а затем сложить их, чтобы получить длину стороны $c$. После этого задача сводится к построению треугольника по стороне и двум прилежащим углам (ASA).

План построения:

1. Построить отрезок $x = r_c\cot(\alpha/2)$ и $y = r_c\cot(\beta/2)$.
2. Построить отрезок $c = x+y$.
3. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
4. В точке $A$ построить луч под углом $\alpha$ к $AB$.
5. В точке $B$ построить луч под углом $\beta$ к $AB$.
6. Точка пересечения этих лучей есть вершина $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

р) углу, радиусу вневписанной окружности, расположенной против этого угла, и высоте, проведенной из другого угла

Пусть даны угол $\alpha$, радиус вневписанной окружности $r_a$ и высота $h_b$.

Анализ: Из прямоугольного треугольника, образованного стороной $c=AB$, высотой $h_b$ и вершиной $A$, имеем $h_b = c\sin\alpha$. Отсюда $c = h_b/\sin\alpha$. Мы можем построить отрезок $c$. Теперь задача сводится к построению треугольника по стороне $c$, прилежащему углу $\alpha$ и радиусу вневписанной окружности $r_a$. Центр $I_a$ вневписанной окружности лежит на биссектрисе угла $A$ и на расстоянии $r_a$ от прямой $AB$. Это позволяет найти $I_a$.

План построения:

1. Построить отрезок $c = h_b/\sin\alpha$ (гипотенуза прямоугольного треугольника с катетом $h_b$ и противолежащим углом $\alpha$).
2. Построить отрезок $AB$ длиной $c$.
3. В точке $A$ построить луч $l$ под углом $\alpha$ к $AB$.
4. Построить биссектрису угла $A$.
5. Построить прямую, параллельную $AB$ на расстоянии $r_a$.
6. Пересечение биссектрисы и этой прямой дает центр $I_a$.
7. Построить вневписанную окружность $\omega_a$ с центром $I_a$ и радиусом $r_a$.
8. Провести из точки $B$ касательную к $\omega_a$ (отличную от $AB$).
9. Точка пересечения этой касательной и луча $l$ есть вершина $C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

с) углу, радиусу описанной окружности и сумме (разности) двух сторон, из которых одна расположена против данного угла

Пусть даны угол $\alpha$, радиус $R$ и сумма $a+b$ или разность $a-b$ (или $b-a$).

Анализ: По теореме синусов, сторона $a$, лежащая против угла $\alpha$, равна $a = 2R\sin\alpha$. Мы можем построить этот отрезок. Если дана сумма $a+b$, то мы можем найти сторону $b$ как разность $(a+b)-a$. Если дана разность, например $b-a$, то мы можем найти $b$ как сумму $(b-a)+a$. В любом случае, мы можем определить длины сторон $a$ и $b$. Задача сводится к построению треугольника по двум сторонам $a, b$ и радиусу описанной окружности $R$, что является задачей (а).

План построения:

1. Построить отрезок $a=2R\sin\alpha$.
2. Найти длину стороны $b$ путем сложения или вычитания данных отрезков.
3. Выполнить построение из задачи (а) для известных $a, b, R$:
4. Построить окружность $\Omega$ радиуса $R$.
5. Выбрать на ней точку $C$.
6. Найти $B$ на $\Omega$ так, что $BC=a$.
7. Найти $A$ на $\Omega$ так, что $AC=b$.
8. Соединить $A,B,C$.

Ответ: Треугольник $ABC$ является искомым.

т) радиусу вписанной окружности, его углу и отрезку, который равен сумме стороны против этого угла и еще одной стороны, уменьшенной на третью сторону

Пусть даны радиус вписанной окружности $r$, угол $\alpha$ и отрезок $d = a+b-c$.

Анализ: Воспользуемся свойством отрезков касательных: $a+b-c = (CD_a+BD_a)+(AD_b+CD_b)-(AD_c+BD_c)$, где $D_a, D_b, D_c$ - точки касания на сторонах $a, b, c$. Так как $CD_a=CD_b$, $BD_a=BD_c$, $AD_b=AD_c$, то $a+b-c = (CD_a+BD_c)+(AD_c+CD_a)-(AD_c+BD_c) = 2CD_a$. Таким образом, данный отрезок $d$ равен удвоенному отрезку касательной из вершины $C$, т.е. $d = 2(s-c)$, где $s$ - полупериметр. Отсюда $CD_a = d/2$. В прямоугольном треугольнике $ICD_a$ известны катеты: $ID_a=r$ и $CD_a=d/2$. Мы можем найти угол $\angle ICD_a = \gamma/2$ из соотношения $\tan(\gamma/2) = ID_a/CD_a = 2r/d$. Построив угол $\gamma$, и зная угол $\alpha$, мы находим третий угол $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma$. Задача сводится к построению треугольника по двум углам и радиусу вписанной окружности, что является задачей (и).

План построения:

1. Построить угол $\gamma/2$, тангенс которого равен $2r/d$. Для этого строим прямоугольный треугольник с катетами $r$ и $d/2$. Угол, противолежащий катету $r$, равен $\gamma/2$.
2. Удвоить угол $\gamma/2$, чтобы получить угол $\gamma$.
3. Найти угол $\beta = 180^\circ - \alpha - \gamma$.
4. Выполнить построение из задачи (и) для известных $\alpha, \beta, \gamma$ и $r$.

Ответ: Треугольник $ABC$, построенный по данному плану, является искомым.