Номер 748, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

748. Постройте равнобедренный треугольник по его:

а) боковой стороне и радиусу описанной окружности;

б) основанию и радиусу описанной окружности;

в) углу, прилежащему к основанию, и радиусу описанной окружности;

г) высоте, проведенной к основанию, и радиусу описанной окружности;

д) высоте, проведенной к основанию, и радиусу вписанной окружности;

е) основанию и радиусу вписанной окружности;

ж) углу при вершине и радиусу вписанной окружности.

а) боковой стороне и радиусу описанной окружности;

Анализ:
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с боковой стороной $b$ ($AB = AC = b$) и радиусом описанной окружности $R$. Пусть $h_a$ — высота, проведенная к основанию $BC$. Существует формула, связывающая эти величины: $b^2 = 2Rh_a$. Из этой формулы мы можем выразить высоту: $h_a = \frac{b^2}{2R}$.
Таким образом, задача сводится к построению отрезка $h_a$ по известным $b$ и $R$, а затем построению равнобедренного треугольника по боковой стороне $b$ и высоте $h_a$.
Построение отрезка $x = \frac{b^2}{c}$ (где $c=2R$) выполняется с помощью подобных треугольников.

Построение:
1. Даны отрезки $b$ и $R$. Строим отрезок $c = 2R$.
2. Строим отрезок $h_a = \frac{b^2}{2R}$. Для этого чертим произвольный угол с вершиной $P$. На одной его стороне откладываем отрезки $PQ = 2R$ и $PR = b$. На другой стороне откладываем отрезок $PS = b$. Соединяем точки $Q$ и $S$. Через точку $R$ проводим прямую, параллельную $QS$, до пересечения с другой стороной угла в точке $T$. По теореме о пропорциональных отрезках, $PT = \frac{PR \cdot PS}{PQ} = \frac{b^2}{2R} = h_a$.
3. Проводим произвольную прямую $l$, на которой будет лежать основание треугольника.
4. Выбираем на прямой $l$ точку $H$ и восставляем в этой точке перпендикуляр $m$ к прямой $l$.
5. На перпендикуляре $m$ откладываем отрезок $AH = h_a$. Точка $A$ — вершина искомого треугольника.
6. Проводим окружность с центром в точке $A$ и радиусом $b$.
7. Точки пересечения этой окружности с прямой $l$ обозначаем $B$ и $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Построение возможно, если боковая сторона не меньше высоты, т.е. $b \ge h_a$. Подставляя выражение для $h_a$, получаем $b \ge \frac{b^2}{2R}$, что равносильно $2R \ge b$. Боковая сторона не должна превышать диаметр описанной окружности. Если $b > 2R$, задача не имеет решения.

Ответ: Треугольник построен.

б) основанию и радиусу описанной окружности;

Анализ:
Пусть дано основание $a$ и радиус описанной окружности $R$. Вершины треугольника лежат на описанной окружности. Мы можем построить эту окружность, а затем вписать в нее хорду, равную основанию $a$. Третья вершина должна лежать на этой же окружности и быть равноудаленной от концов хорды-основания, то есть находиться на серединном перпендикуляре к основанию.

Построение:
1. Даны отрезки $a$ и $R$.
2. Строим окружность $\omega$ с центром в произвольной точке $O$ и радиусом $R$.
3. Выбираем на окружности $\omega$ произвольную точку $B$.
4. Проводим окружность с центром в точке $B$ и радиусом $a$. Одна из точек ее пересечения с окружностью $\omega$ будет точкой $C$. Отрезок $BC$ — основание искомого треугольника.
5. Строим серединный перпендикуляр $m$ к отрезку $BC$.
6. Серединный перпендикуляр $m$ пересекает окружность $\omega$ в двух точках, $A_1$ и $A_2$. Каждая из этих точек может служить вершиной искомого треугольника.
7. Соединяем точки $A_1$, $B$ и $C$. Треугольник $A_1BC$ — искомый. (Треугольник $A_2BC$ также является решением).

Условие существования задачи: Построение возможно, если основание $a$ можно поместить в окружность радиуса $R$ в качестве хорды. Для этого длина основания не должна превышать диаметр окружности: $a \le 2R$. Если $a > 2R$, задача не имеет решения.

Ответ: Треугольник построен.

в) углу, прилежащему к основанию, и радиусу описанной окружности;

Анализ:
Пусть дан угол при основании $\beta$ и радиус описанной окружности $R$. В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=AC$) углы при основании равны: $\angle ABC = \angle ACB = \beta$. Угол при вершине $\angle BAC = \alpha = 180^\circ - 2\beta$.
Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу, $\angle AOB = 2\angle ACB = 2\beta$. Аналогично, центральный угол $\angle AOC = 2\angle ABC = 2\beta$. Таким образом, мы можем построить треугольник, найдя его вершины на описанной окружности, используя центральные углы.

Построение:
1. Даны угол $\beta$ и отрезок $R$.
2. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$.
3. Выбираем на окружности произвольную точку $A$ — вершину треугольника.
4. Строим угол $2\beta$ (удваивая данный угол $\beta$).
5. По разные стороны от луча $OA$ строим два центральных угла: $\angle AOB = 2\beta$ и $\angle AOC = 2\beta$, где точки $B$ и $C$ лежат на окружности $\omega$.
6. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Для существования невырожденного треугольника угол при основании должен быть острым, то есть $0 < \beta < 90^\circ$.

Ответ: Треугольник построен.

г) высоте, проведенной к основанию, и радиусу описанной окружности;

Анализ:
Пусть дана высота $h_a$ и радиус описанной окружности $R$. Центр $O$ описанной окружности лежит на прямой, содержащей высоту $AH$. Расстояние от центра $O$ до вершины $A$ равно $R$. Это позволяет определить положение центра $O$ относительно вершины $A$. Зная центр и радиус, мы можем построить описанную окружность. Основание треугольника лежит на прямой, перпендикулярной высоте, и его концы лежат на описанной окружности.

Построение:
1. Проводим произвольную прямую $m$, на которой будет лежать высота.
2. Выбираем на ней точку $A$ (вершину треугольника).
3. На прямой $m$ откладываем отрезок $AH = h_a$. Точка $H$ — основание высоты.
4. Центр описанной окружности $O$ лежит на прямой $m$ и удален от точки $A$ на расстояние $R$. Таких точек две. Выберем одну из них: строим окружность с центром $A$ и радиусом $R$, точка ее пересечения с прямой $m$ будет центром $O$. (В общем случае есть два решения, соответствующих остроугольному и тупоугольному треугольникам, если $h_a < R$).
5. Строим описанную окружность $\omega$ с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Точка $A$ лежит на этой окружности.
6. В точке $H$ проводим прямую $l$, перпендикулярную прямой $m$.
7. Точки пересечения прямой $l$ с окружностью $\omega$ обозначаем $B$ и $C$.
8. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Прямая $l$ должна пересекать окружность $\omega$. Для этого расстояние от центра $O$ до прямой $l$, равное $OH$, не должно превышать радиус $R$. Расстояние $OH = |AH - AO|$ (если $O$ между $A$ и $H$) или $OH = |AO - AH|$ (если $H$ между $A$ и $O$). В общем виде $OH = |h_a - R|$ (если центр $O$ и вершина $A$ по одну сторону от $H$) или $OH=h_a+R$ (невозможно). На самом деле $OH = |R_{y}-H_{y}|$. Если $A$ в $(0, h_a)$, $H$ в $(0,0)$, то $O$ в $(0, y_O)$ и $|h_a - y_O|=R$. $y_O=h_a \pm R$. OH = $|y_O|$. Так или иначе, $|h_a - R| \le R$, что приводит к $h_a \le 2R$. Высота не должна превышать диаметр описанной окружности.

Ответ: Треугольник построен.

д) высоте, проведенной к основанию, и радиусу вписанной окружности;

Анализ:
Пусть дана высота $h_a$ и радиус вписанной окружности $r$. В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности $I$ лежит на высоте $AH$. Вписанная окружность касается основания $BC$ в точке $H$. Следовательно, расстояние от центра $I$ до точки касания $H$ равно радиусу, то есть $IH=r$. Зная $AH=h_a$ и $IH=r$, мы можем определить положение точек $A$, $I$, $H$ на одной прямой. Боковые стороны $AB$ и $AC$ являются касательными к вписанной окружности, проведенными из точки $A$.

Построение:
1. Проводим произвольную прямую $m$.
2. Выбираем на ней точку $H$.
3. Откладываем на прямой $m$ отрезок $HA = h_a$.
4. На отрезке $HA$ откладываем отрезок $HI = r$ (точка $I$ лежит между $A$ и $H$).
5. Строим окружность $\omega$ с центром в точке $I$ и радиусом $r$. Это вписанная окружность.
6. Строим касательные к окружности $\omega$ из точки $A$. Для этого находим середину отрезка $AI$, строим на $AI$ как на диаметре окружность, которая пересечет $\omega$ в точках касания $T_1$ и $T_2$. Прямые $AT_1$ и $AT_2$ — прямые, содержащие боковые стороны.
7. В точке $H$ проводим прямую $l$, перпендикулярную прямой $m=AH$. Эта прямая содержит основание.
8. Точки пересечения прямой $l$ с касательными $AT_1$ и $AT_2$ обозначаем $B$ и $C$.
9. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Точка $A$ должна лежать вне вписанной окружности, то есть $AI > r$. Так как $AI = AH - IH = h_a - r$, получаем $h_a - r > r$, что равносильно $h_a > 2r$.

Ответ: Треугольник построен.

е) основанию и радиусу вписанной окружности;

Анализ:
Пусть дано основание $a=BC$ и радиус вписанной окружности $r$. Пусть $H$ — середина основания $BC$, тогда $HC = a/2$. Высота $AH$ перпендикулярна $BC$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на $AH$, и $IH=r$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $IHC$. В нем катеты $IH=r$ и $HC=a/2$ известны. Угол $\angle ICH$ равен половине угла при основании $\beta$, то есть $\angle ICH = \beta/2$. Построив этот треугольник, мы найдем угол $\beta/2$, а значит, и сам угол $\beta$. Далее задача сводится к построению треугольника по основанию и прилежащим углам.

Построение:
1. Даны отрезки $a$ и $r$. Строим отрезок $a/2$.
2. Строим прямоугольный треугольник $IHC$ по двум катетам: $HC=a/2$ и $IH=r$. Угол $\angle ICH$ будет равен $\beta/2$.
3. Проводим прямую $l$ и откладываем на ней отрезок $BC = a$.
4. Строим угол $\beta$: удваиваем построенный угол $\beta/2=\angle ICH$.
5. В точках $B$ и $C$ откладываем углы, равные $\beta$, так, чтобы их стороны пересеклись. Точка пересечения этих сторон будет вершиной $A$.
6. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Угол при основании $\beta$ должен быть острым, $\beta < 90^\circ$, что означает $\beta/2 < 45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $IHC$ это условие означает, что катет, противолежащий углу $\beta/2$, должен быть меньше прилежащего катета: $IH < HC$, то есть $r < a/2$, или $2r < a$.

Ответ: Треугольник построен.

ж) углу при вершине и радиусу вписанной окружности.

Анализ:
Пусть дан угол при вершине $\alpha$ и радиус вписанной окружности $r$. Центр вписанной окружности $I$ лежит на биссектрисе угла $\alpha$, которая в равнобедренном треугольнике является и высотой $AH$. Таким образом, $\angle IAT = \alpha/2$, где $T$ — точка касания вписанной окружности со стороной $AC$. В прямоугольном треугольнике $AIT$ катет $IT = r$ и противолежащий ему угол $\angle IAT = \alpha/2$ известны. Это позволяет построить данный треугольник, а затем и весь искомый треугольник.

Построение:
1. Дан угол $\alpha$ и отрезок $r$. Строим угол $\alpha/2$.
2. Строим прямоугольный треугольник $AIT$ по катету $IT=r$ и противолежащему углу $\angle IAT = \alpha/2$.
а) Проводим прямую, на ней выбираем точку $T$.
б) В точке $T$ восставляем перпендикуляр и откладываем на нем $TI=r$.
в) Из точки $I$ проводим луч под углом $90^\circ - \alpha/2$ к отрезку $IT$, который пересечет исходную прямую в точке $A$.
3. Прямая $AI$ является осью симметрии искомого треугольника. Прямая $AT$ содержит одну из боковых сторон ($AC$).
4. Строим луч $AB$, симметричный лучу $AC$ относительно прямой $AI$. Для этого откладываем от $AI$ угол $\angle BAI = \alpha/2$.
5. На прямой $AI$ откладываем от точки $I$ в сторону от $A$ отрезок $IH = r$. Точка $H$ — точка касания вписанной окружности с основанием.
6. Через точку $H$ проводим прямую $l$, перпендикулярную $AI$.
7. Точки пересечения прямой $l$ с лучами $AB$ и $AC$ обозначаем $B$ и $C$.
8. Треугольник $ABC$ — искомый.

Условие существования задачи: Угол при вершине должен быть в пределах $0 < \alpha < 180^\circ$. При этом условии построение всегда возможно.

Ответ: Треугольник построен.