Номер 747, страница 219 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

747. Постройте прямоугольный треугольник по его:

а) катету и радиусу вписанной окружности;

б) гипотенузе и радиусу вписанной окружности;

в) радиусам описанной и вписанной окружностей;

г) острому углу и радиусу описанной окружности.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Обозначим катеты $a=BC$ и $b=AC$, гипотенузу $c=AB$. Пусть $r$ — радиус вписанной окружности, а $R$ — радиус описанной окружности.

а) катету и радиусу вписанной окружности

Пусть нам даны отрезки, равные катету $a$ и радиусу вписанной окружности $r$. Требуется построить треугольник $ABC$.

Анализ:
Центр вписанной окружности (инцентр) $I$ равноудален от сторон треугольника. В прямоугольном треугольнике инцентр $I$ вместе с вершиной прямого угла $C$ и точками касания на катетах образует квадрат со стороной $r$. Точки касания вписанной окружности со сторонами $BC$, $AC$ и $AB$ обозначим $D$, $E$ и $F$ соответственно. Тогда $CD = CE = r$. Отрезок касательной из вершины $B$ равен $BD = BC - CD = a - r$. Инцентр $I$ лежит на биссектрисе угла $B$. В прямоугольном треугольнике $IDB$ (с прямым углом $D$) мы знаем катеты: $ID=r$ и $BD = a-r$. Это позволяет нам построить угол $B/2$, а значит, и сам треугольник. Построение возможно, если $a-r > 0$, т.е. $a > r$, что всегда верно. Также для существования треугольника необходимо, чтобы другой катет $b$ был положителен. Из формулы $b = \frac{2r(a-r)}{a-2r}$ следует, что должно выполняться условие $a > 2r$.

Построение:

1. Строим две перпендикулярные прямые, пересекающиеся в точке $C$. Это будут прямые, содержащие катеты треугольника.
2. На одной из прямых от точки $C$ откладываем отрезок $CB$, равный данному катету $a$.
3. Для нахождения центра вписанной окружности $I$ строим биссектрису прямого угла $C$. Затем проводим прямую, параллельную $CB$ на расстоянии $r$. Точка пересечения биссектрисы и этой параллельной прямой есть инцентр $I$.
4. Строим вписанную окружность с центром в точке $I$ и радиусом $r$.
5. Из точки $B$ проводим касательную к построенной окружности (отличную от прямой $BC$). Для этого строим окружность на отрезке $BI$ как на диаметре. Точка пересечения этой окружности с вписанной окружностью (отличная от точки касания на катете $BC$) будет точкой касания $F$ на гипотенузе.
6. Проводим прямую через точки $B$ и $F$.
7. Точка пересечения этой прямой со второй прямой, проходящей через $C$, будет вершиной $A$.

Треугольник $ABC$ — искомый, так как у него прямой угол $C$, катет $BC=a$ и радиус вписанной окружности равен $r$ по построению.

Ответ: Построение описано выше.

б) гипотенузе и радиусу вписанной окружности

Пусть нам даны отрезки, равные гипотенузе $c$ и радиусу вписанной окружности $r$.

Анализ:
Сумма углов $A$ и $B$ в прямоугольном треугольнике равна $90^\circ$. Угол $\angle AIB$, где $I$ — инцентр, равен $180^\circ - (\angle A + \angle B)/2 = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$. Это означает, что инцентр $I$ лежит на дуге окружности, из которой отрезок $AB$ виден под углом $135^\circ$. Кроме того, инцентр $I$ удален от гипотенузы $AB$ на расстояние $r$. Пересечение этих двух геометрических мест точек даст нам положение инцентра $I$, что позволит завершить построение. Для существования решения необходимо, чтобы выполнялось условие $c \ge 2r(1+\sqrt{2})$.

Построение:

1. Строим отрезок $AB$, равный данной гипотенузе $c$.
2. Строим геометрическое место точек, из которых отрезок $AB$ виден под углом $135^\circ$. Для этого:
   • Находим середину $M$ отрезка $AB$.
   • Строим перпендикуляр к $AB$ в точке $M$.
   • На этом перпендикуляре в одну из сторон откладываем отрезок $MO_I$, равный $AM = c/2$. Точка $O_I$ — центр искомой дуги.
   • Строим дугу окружности с центром в $O_I$ и радиусом $O_IA$.
3. Строим прямую, параллельную отрезку $AB$ и находящуюся на расстоянии $r$ от него (с той стороны от $AB$, где может лежать вершина $C$, т.е. с противоположной от $O_I$).
4. Точка (или точки) пересечения построенной дуги и прямой является центром вписанной окружности $I$. Выбираем одну из них.
5. Строим окружность с центром в $I$ и радиусом $r$.
6. Из точек $A$ и $B$ проводим касательные к этой окружности (отличные от прямой $AB$).
7. Точка пересечения этих касательных является вершиной прямого угла $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый. По построению $AB=c$, радиус вписанной окружности равен $r$, а угол $C$ прямой, так как $\angle A + \angle B = 2(180^\circ - \angle AIB) = 2(180^\circ - 135^\circ) = 90^\circ$.

Ответ: Построение описано выше.

в) радиусам описанной и вписанной окружностей

Пусть даны радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$.

Анализ:
В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы. Поэтому гипотенуза $c$ равна диаметру описанной окружности, то есть $c = 2R$. Таким образом, задача сводится к предыдущей: построить прямоугольный треугольник по гипотенузе $c=2R$ и радиусу вписанной окружности $r$.

Построение:

1. Строим отрезок $c$, равный $2R$.
2. Выполняем построение, описанное в пункте б), используя полученный отрезок $c$ в качестве гипотенузы и данный радиус $r$.

Условие существования решения: $c \ge 2r(1+\sqrt{2})$, или $2R \ge 2r(1+\sqrt{2})$, что эквивалентно $R \ge r(1+\sqrt{2})$.

Ответ: Задача сводится к построению из пункта б), где гипотенуза $c=2R$.

г) острому углу и радиусу описанной окружности

Пусть дан острый угол $\alpha$ и радиус описанной окружности $R$.

Анализ:
Как и в предыдущем пункте, гипотенуза $c=2R$. Вершина прямого угла $C$ лежит на описанной окружности. Угол, вписанный в окружность, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Угол $\angle A = \alpha$ опирается на дугу $BC$. Следовательно, мы можем построить треугольник, зная его описанную окружность и один из углов.

Построение:

1. Строим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Это описанная окружность треугольника.
2. Проводим через центр $O$ диаметр $AB$. Этот отрезок будет гипотенузой искомого треугольника, его длина равна $2R$.
3. От луча $AB$ в точке $A$ откладываем угол, равный данному углу $\alpha$.
4. Проводим луч из точки $A$ под этим углом до пересечения с окружностью. Точка пересечения будет третьей вершиной треугольника $C$.
5. Соединяем точки $B$ и $C$.

Треугольник $ABC$ — искомый. Угол $C$ прямой, так как он вписанный и опирается на диаметр $AB$. Радиус описанной окружности по построению равен $R$, а угол $A$ равен $\alpha$.

Ответ: Построение описано выше.