Номер 744, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

744. Постройте угол, который:

а) равен данному углу, вписан в одну из данных окружностей и описан около другой;

б) вписан в данную окружность, опирается на данную дугу и высекает на данной прямой отрезок данной длины.

а) равен данному углу, вписан в одну из данных окружностей и описан около другой;

Пусть дан угол величиной $\alpha$ и две окружности: $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $R_1$, и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $R_2$. Требуется построить угол, равный $\alpha$, вершина которого лежит на одной из окружностей (например, $\omega_1$), а стороны являются касательными к другой окружности ($\omega_2$).

Анализ
Пусть искомый угол $\angle KVL$ с вершиной $V$ равен $\alpha$. По условию, вершина $V$ лежит на окружности $\omega_1$. Стороны $VK$ и $VL$ касаются окружности $\omega_2$ в точках $K$ и $L$ соответственно.

Рассмотрим угол, описанный около окружности $\omega_2$. Центр $O_2$ этой окружности лежит на биссектрисе угла $\angle KVL$. Расстояние от вершины $V$ до центра $O_2$ связано с величиной угла $\alpha$ и радиусом $R_2$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle VKO_2$, где $\angle VKO_2 = 90^\circ$. Угол $\angle KVO_2$ равен половине угла $\angle KVL$, то есть $\alpha/2$. В этом треугольнике гипотенуза $VO_2$ и катет $O_2K=R_2$ связаны соотношением: $$ \sin(\alpha/2) = \frac{O_2K}{VO_2} = \frac{R_2}{VO_2} $$ Отсюда мы можем выразить расстояние от вершины $V$ до центра $O_2$: $$ VO_2 = \frac{R_2}{\sin(\alpha/2)} $$ Это означает, что геометрическое место точек $V$, из которых окружность $\omega_2$ видна под углом $\alpha$, есть окружность с центром в $O_2$ и радиусом $d = \frac{R_2}{\sin(\alpha/2)}$.

Таким образом, искомая вершина $V$ должна удовлетворять двум условиям:

1. $V$ лежит на данной окружности $\omega_1(O_1, R_1)$.
2. $V$ лежит на построенной окружности $\omega_3(O_2, d)$.

Следовательно, вершина $V$ является точкой пересечения окружностей $\omega_1$ и $\omega_3$.

Построение

1. Построить биссектрису данного угла $\alpha$, чтобы получить угол $\alpha/2$.
2. Построить отрезок длиной $d = \frac{R_2}{\sin(\alpha/2)}$. Для этого нужно построить прямоугольный треугольник, у которого один из острых углов равен $\alpha/2$, а противолежащий этому углу катет равен $R_2$. Гипотенуза этого треугольника и будет иметь длину $d$.
3. Построить вспомогательную окружность $\omega_3$ с центром в $O_2$ и радиусом $d$.
4. Найти точки пересечения окружности $\omega_1$ и построенной окружности $\omega_3$. Каждая точка пересечения является возможной вершиной искомого угла. Если пересечения нет, решения в такой постановке (вершина на $\omega_1$, касание $\omega_2$) не существует.
5. Выбрать одну из точек пересечения, назовем ее $V$. Из точки $V$ провести две касательные к окружности $\omega_2$. Угол, образованный этими касательными, является искомым.

Исследование
Задача имеет решение, если окружности $\omega_1$ и $\omega_3$ пересекаются. Пусть расстояние между центрами $O_1$ и $O_2$ равно $D$. Условие пересечения окружностей: $|R_1 - d| \le D \le R_1 + d$. Если это условие не выполняется, следует поменять роли окружностей: искать угол, вписанный в $\omega_2$ и описанный около $\omega_1$. В этом случае радиус вспомогательной окружности будет $d' = \frac{R_1}{\sin(\alpha/2)}$, а ее центр — $O_1$. Задача будет иметь решение, если $|R_2 - d'| \le D \le R_2 + d'$. Если ни одно из условий не выполнимо, задача не имеет решения.

Ответ: Искомый угол строится путем нахождения его вершины как точки пересечения одной из данных окружностей с вспомогательной окружностью. Центр вспомогательной окружности совпадает с центром другой данной окружности (около которой описывается угол), а ее радиус $d$ зависит от радиуса $R$ этой окружности и величины угла $\alpha$ как $d = R/\sin(\alpha/2)$.

б) вписан в данную окружность, опирается на данную дугу и высекает на данной прямой отрезок данной длины.

Пусть дана окружность $\omega$ с центром $O$, дуга $AB$ на этой окружности, прямая $l$ и отрезок длины $d$. Требуется построить угол с вершиной на окружности $\omega$, стороны которого проходят через точки $A$ и $B$ и высекают на прямой $l$ отрезок длины $d$.

Анализ
Искомый угол $\angle APB$ должен иметь вершину $P$ на окружности $\omega$. Его стороны $PA$ и $PB$ должны пересекать прямую $l$ в точках $M$ и $N$ так, чтобы длина отрезка $MN$ была равна $d$.

Задача сводится к нахождению на окружности $\omega$ такой точки $P$, для которой выполняется условие $d(PA \cap l, PB \cap l) = d$. Решим задачу методом поиска неподвижных точек проективного преобразования. Выберем на прямой $l$ направление, задаваемое вектором $\vec{u}$ длины $d$. Тогда условие можно записать как $N = M + \vec{u}$, где $M=PA \cap l$ и $N=PB \cap l$.

Рассмотрим отображение $\Phi$ окружности $\omega$ на себя. Для произвольной точки $P \in \omega$ ее образ $Q = \Phi(P)$ строится следующим образом:

1. Проводится прямая $AP$, находится ее точка пересечения с прямой $l$: $M = AP \cap l$.
2. На прямой $l$ находится точка $N$ путем сдвига точки $M$ на вектор $\vec{u}$: $N = M + \vec{u}$.
3. Проводится прямая $BN$. Точка ее второго пересечения с окружностью $\omega$ (отличная от $B$) и есть образ $Q = \Phi(P)$.

Искомая точка $P$ является неподвижной точкой этого отображения, то есть удовлетворяет уравнению $\Phi(P) = P$.

Можно показать, что отображение $\Phi$ является проективным преобразованием окружности. Композиция проекций с окружности на прямую (и обратно) и сдвига на прямой является проективным преобразованием. Неподвижные точки проективного преобразования окружности можно построить с помощью циркуля и линейки. Для этого нужно найти ось проективности и ее точки пересечения с окружностью. Ось проективности строится на основе образов трех произвольных точек.

Построение

1. Выбрать на прямой $l$ вектор $\vec{u}$ длины $d$ (задающий одно из двух направлений).
2. Выбрать три произвольные точки $P_1, P_2, P_3$ на окружности $\omega$ (не совпадающие с $A$ и $B$).
3. Для каждой точки $P_i$ ($i=1, 2, 3$) построить ее образ $Q_i = \Phi(P_i)$ согласно описанному выше алгоритму.
4. Построить ось проективности преобразования $\Phi$. Это прямая, проходящая через точки пересечения "скрещивающихся" хорд: $X_1 = P_1Q_2 \cap P_2Q_1$ и $X_2 = P_1Q_3 \cap P_3Q_1$.
5. Найти точки пересечения построенной оси с данной окружностью $\omega$. Эти точки (если они существуют) являются неподвижными точками преобразования $\Phi$ и, следовательно, вершинами искомых углов для выбранного направления $\vec{u}$.
6. Повторить шаги 1-5 для противоположного вектора $-\vec{u}$, чтобы найти все возможные решения.
7. Для каждой найденной вершины $P$ угол $\angle APB$ является искомым.

Исследование
Для каждого из двух направлений на прямой $l$ задача может иметь 0, 1 или 2 решения, в зависимости от числа точек пересечения оси проективности с окружностью. В общем случае задача может иметь от 0 до 4 решений.

Ответ: Искомый угол строится путем нахождения его вершины $P$ как неподвижной точки проективного преобразования $\Phi$ окружности $\omega$. Преобразование $\Phi$ сопоставляет точке $P$ точку $Q = (B((AP \cap l)+\vec{u})) \cap \omega$. Неподвижные точки находятся как пересечение окружности с осью проективности, построенной по образам трех произвольных точек.