Номер 742, страница 217 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

742. Впишите:

а) в данный прямоугольный треугольник такой квадрат, который бы имел с треугольником общий угол;

б) в данный треугольник такой ромб, который бы имел с треугольником общий угол;

в) в данный треугольник такой квадрат, одна сторона которого лежала бы на стороне треугольника;

г) в данную окружность треугольник с двумя данными углами.

а) в данный прямоугольный треугольник такой квадрат, который бы имел с треугольником общий угол;

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом при вершине $C$. Требуется вписать в него квадрат $CDFE$, у которого угол $C$ является общим с треугольником, вершины $D$ и $E$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а вершина $F$ — на гипотенузе $AB$. Для построения воспользуемся методом гомотетии (подобия).

Построение:

1. На катете $AC$ выберем произвольную точку $D_1$.
2. Построим квадрат $CD_1F_1E_1$ так, чтобы вершина $E_1$ лежала на луче $CB$.
3. Проведем луч $CF_1$, который пересечет гипотенузу $AB$ в некоторой точке $F$. Эта точка и будет вершиной искомого квадрата.
4. Из точки $F$ опустим перпендикуляры на катеты $AC$ и $BC$. Обозначим основания перпендикуляров как $D$ и $E$ соответственно.
5. Четырехугольник $CDFE$ является искомым квадратом.

Обоснование:

По построению $CDFE$ является прямоугольником. Рассмотрим гомотетию с центром в точке $C$, которая переводит точку $F_1$ в точку $F$. Так как $F$ лежит на луче $CF_1$, такая гомотетия существует. При этой гомотетии прямая, проходящая через точки $F_1$ и $D_1$, перейдет в параллельную ей прямую, проходящую через точку $F$. Следовательно, точка $D_1$ перейдет в точку $D$, а точка $E_1$ — в точку $E$. Поскольку гомотетия сохраняет форму фигур, образ квадрата $CD_1F_1E_1$ является квадратом. Таким образом, прямоугольник $CDFE$ является квадратом.

Ответ: Построение выполнено и обосновано выше.

б) в данный треугольник такой ромб, который бы имел с треугольником общий угол;

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Требуется вписать в него ромб $ADEF$ так, чтобы угол при вершине $A$ был общим для треугольника и ромба, вершины $D$ и $F$ лежали на сторонах $AB$ и $AC$ соответственно, а вершина $E$ — на стороне $BC$.

Построение:

1. Выберем угол треугольника, который будет общим с ромбом, например, угол $A$.
2. Построим биссектрису угла $BAC$.
3. Точку пересечения биссектрисы со стороной $BC$ обозначим $E$. Эта точка будет одной из вершин искомого ромба.
4. Из точки $E$ проведем прямую, параллельную стороне $AB$, до пересечения со стороной $AC$ в точке $F$.
5. Из точки $E$ проведем прямую, параллельную стороне $AC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $D$.
6. Четырехугольник $ADEF$ является искомым ромбом.

Обоснование:

По построению $ADEF$ — параллелограмм, так как его противолежащие стороны параллельны ($DE \parallel AF$ и $EF \parallel AD$). Для того чтобы доказать, что это ромб, достаточно показать, что две его смежные стороны равны, например, $AF = FE$.
Рассмотрим треугольник $AFE$. Так как $AE$ — биссектриса угла $A$, то $\angle FAE = \angle DAE$.
Поскольку $EF \parallel AB$ (а значит и $EF \parallel AD$), то $\angle AEF = \angle DAE$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $EF$, $AD$ и секущей $AE$.
Из этих двух равенств следует, что $\angle FAE = \angle AEF$. Следовательно, треугольник $AFE$ является равнобедренным, и $AF = FE$.
Таким образом, параллелограмм $ADEF$ имеет равные смежные стороны, а значит, является ромбом.

Ответ: Построение выполнено и обосновано выше.

в) в данный треугольник такой квадрат, одна сторона которого лежала бы на стороне треугольника;

Пусть дан произвольный треугольник $ABC$. Требуется вписать в него квадрат $DEFG$ так, чтобы одна его сторона ($DE$) лежала на стороне треугольника (например, $AC$), а две другие вершины ($G$ и $F$) лежали на двух других сторонах ($AB$ и $BC$ соответственно). Воспользуемся методом гомотетии.

Построение:

1. Выберем сторону треугольника, на которой будет лежать сторона квадрата, например, $AC$.
2. На стороне $AB$ выберем произвольную точку $G_1$.
3. Из точки $G_1$ опустим перпендикуляр $G_1D_1$ на сторону $AC$.
4. На прямой $AC$ отложим отрезок $D_1E_1$, равный $G_1D_1$, так, чтобы точка $E_1$ лежала в направлении точки $C$.
5. Построим квадрат $D_1E_1F_1G_1$ на стороне $D_1G_1$.
6. Проведем луч из вершины $A$ через точку $F_1$. Точку пересечения этого луча со стороной $BC$ обозначим $F$. Эта точка будет одной из вершин искомого квадрата.
7. Из точки $F$ проведем прямую $FG$, параллельную $AC$, до пересечения со стороной $AB$ в точке $G$.
8. Из точек $F$ и $G$ опустим перпендикуляры $FE$ и $GD$ на сторону $AC$.
9. Четырехугольник $DEFG$ является искомым квадратом.

Обоснование:

Рассмотрим гомотетию с центром в точке $A$, которая переводит точку $F_1$ в точку $F$.
При этой гомотетии:

• Точка $E_1$ (лежащая на луче $AD_1$, то есть на прямой $AC$) перейдет в точку $E$, также лежащую на прямой $AC$.
• Точка $G_1$ (лежащая на стороне $AB$) перейдет в точку $G$, также лежащую на стороне $AB$.
• Точка $D_1$ (лежащая на стороне $AC$) перейдет в точку $D$, также лежащую на стороне $AC$.

Поскольку гомотетия переводит квадрат в квадрат, фигура $DEFG$ является квадратом. По построению его вершины лежат на сторонах треугольника $ABC$: $D, E$ на $AC$; $F$ на $BC$; $G$ на $AB$.

Ответ: Построение выполнено и обосновано выше.

г) в данную окружность треугольник с двумя данными углами.

Пусть дана окружность $\Omega$ и два угла $\alpha$ и $\beta$. Требуется вписать в эту окружность треугольник, два угла которого равны $\alpha$ и $\beta$. Третий угол треугольника будет равен $\gamma = 180^\circ - (\alpha + \beta)$. Построение основано на теореме об угле между касательной и хордой.

Построение:

1. На данной окружности $\Omega$ выберем произвольную точку $A$. Она будет одной из вершин искомого треугольника.
2. Проведем через точку $A$ касательную $t$ к окружности $\Omega$.
3. От луча, являющегося частью касательной $t$, отложим угол, равный $\alpha$, так, чтобы вторая сторона угла пересекла окружность в точке $B$. Таким образом, мы строим хорду $AB$.
4. От того же луча касательной, но в другую полуплоскость относительно прямой $AB$, отложим угол, равный $\beta$. Вторая сторона этого угла пересечет окружность в точке $C$. Таким образом, мы строим хорду $AC$.
5. Соединим точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Обоснование:

Согласно теореме об угле между касательной и хордой, угол между касательной $t$ и хордой $AB$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AB$, то есть $\angle ACB$. По построению угол между касательной и хордой $AB$ равен $\alpha$, следовательно, $\angle ACB = \alpha$.
Аналогично, угол между касательной $t$ и хордой $AC$ равен вписанному углу, опирающемуся на дугу $AC$, то есть $\angle ABC$. По построению этот угол равен $\beta$, следовательно, $\angle ABC = \beta$.
Таким образом, построенный треугольник $ABC$ имеет два угла, равных данным углам $\alpha$ и $\beta$, и все его вершины лежат на данной окружности.

Ответ: Построение выполнено и обосновано выше.