Номер 745, страница 218 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

745. Постройте отрезок, который:

а) равен и параллелен данному и концы которого принадлежат разным пересекающимся прямым;

б) равен и параллелен данному и концы которого принадлежат данным окружностям;

в) делится пополам данной точкой и концы которого принадлежат данным окружностям;

г) является кратчайшим из отрезков, проходящих через данную точку и имеющих концами точки на двух данных прямых.

а) равен и параллелен данному и концы которого принадлежат разным пересекающимся прямым;

Пусть даны две пересекающиеся прямые $l_1$ и $l_2$, а также отрезок $MN$. Требуется построить отрезок $AB$ с концами $A \in l_1$ и $B \in l_2$, такой что отрезок $AB$ равен и параллелен отрезку $MN$.

Условие, что отрезок $AB$ равен и параллелен $MN$, означает, что вектор $\vec{AB}$ равен вектору $\vec{MN}$ (или $\vec{NM}$). Это значит, что точка $B$ является образом точки $A$ при параллельном переносе на вектор $\vec{v} = \vec{MN}$. Обозначим это преобразование как $T_{\vec{v}}$.

Если точка $A$ принадлежит прямой $l_1$, то ее образ $B = T_{\vec{v}}(A)$ должен принадлежать образу прямой $l_1$ при этом же переносе, то есть прямой $l_1' = T_{\vec{v}}(l_1)$. Прямая $l_1'$ строится как прямая, параллельная $l_1$ и проходящая через образ любой точки прямой $l_1$.

С другой стороны, по условию точка $B$ должна лежать на прямой $l_2$. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения прямой $l_1'$ и прямой $l_2$.

Алгоритм построения:

1. Выбираем одну из прямых, например, $l_1$.
2. Строим ее образ $l_1'$ при параллельном переносе на вектор $\vec{MN}$. Для этого выбираем произвольную точку $X$ на $l_1$, строим точку $X' = T_{\vec{MN}}(X)$ и через $X'$ проводим прямую $l_1'$, параллельную $l_1$.
3. Находим точку пересечения $B = l_1' \cap l_2$. Это один конец искомого отрезка.
4. Для нахождения второго конца $A$ выполняем обратный перенос точки $B$ на вектор $\vec{NM}$ (то есть $-\vec{v}$). Точка $A = T_{\vec{NM}}(B)$ будет лежать на прямой $l_1$. Либо, что то же самое, проводим через точку $B$ прямую, параллельную $MN$, и находим ее точку пересечения с $l_1$.

Полученный отрезок $AB$ является искомым. Задача, как правило, имеет два решения, так как перенос можно было осуществлять и на вектор $\vec{NM}$, что дало бы другой отрезок.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью параллельного переноса одной из данных прямых на вектор, определяемый данным отрезком. Конец отрезка на второй прямой находится как точка пересечения этой прямой с образом первой.

б) равен и параллелен данному и концы которого принадлежат данным окружностям;

Пусть даны две окружности $\omega_1$ с центром $O_1$ и радиусом $r_1$, и $\omega_2$ с центром $O_2$ и радиусом $r_2$, а также отрезок $MN$. Требуется построить отрезок $AB$ с концами $A \in \omega_1$ и $B \in \omega_2$, такой что $AB$ равен и параллелен $MN$.

Решение полностью аналогично предыдущему пункту и использует метод параллельного переноса на вектор $\vec{v} = \vec{MN}$.

Если точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$, то ее образ $B = T_{\vec{v}}(A)$ должен лежать на образе окружности $\omega_1$. Образом окружности $\omega_1(O_1, r_1)$ при параллельном переносе является окружность $\omega_1'(O_1', r_1)$, где новый центр $O_1' = T_{\vec{v}}(O_1)$, а радиус остается прежним.

По условию точка $B$ также лежит на окружности $\omega_2$. Значит, точка $B$ является точкой пересечения окружности $\omega_2$ и образа первой окружности $\omega_1'$.

Алгоритм построения:

1. Выбираем одну из окружностей, например, $\omega_1$.
2. Строим ее образ $\omega_1'$ при параллельном переносе на вектор $\vec{MN}$. Для этого строим новый центр $O_1' = T_{\vec{MN}}(O_1)$ и чертим окружность с тем же радиусом $r_1$.
3. Находим точки пересечения $B_i = \omega_1' \cap \omega_2$. В зависимости от взаимного расположения окружностей, таких точек может быть ноль, одна или две.
4. Для каждой найденной точки $B_i$ строим соответствующую точку $A_i$ на окружности $\omega_1$ путем обратного переноса: $A_i = T_{\vec{NM}}(B_i)$.

Полученные отрезки $A_iB_i$ являются искомыми. Задача может иметь от 0 до 4 решений (до двух для переноса на вектор $\vec{MN}$ и до двух для переноса на вектор $\vec{NM}$).

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью параллельного переноса одной из окружностей на данный вектор. Конец отрезка на второй окружности находится как точка пересечения этой окружности с образом первой.

в) делится пополам данной точкой и концы которого принадлежат данным окружностям;

Пусть даны две окружности $\omega_1(O_1, r_1)$ и $\omega_2(O_2, r_2)$, а также точка $P$. Требуется построить отрезок $AB$ с концами $A \in \omega_1$ и $B \in \omega_2$, который делится точкой $P$ пополам.

Условие, что точка $P$ является серединой отрезка $AB$, означает, что точки $A$ и $B$ симметричны относительно точки $P$. То есть, $B$ является образом $A$ при центральной симметрии с центром в точке $P$. Обозначим это преобразование $S_P$.

Если точка $A$ лежит на окружности $\omega_1$, то ее образ $B = S_P(A)$ должен лежать на образе окружности $\omega_1$. Образом окружности $\omega_1(O_1, r_1)$ при центральной симметрии $S_P$ является окружность $\omega_1'(O_1', r_1)$, где новый центр $O_1' = S_P(O_1)$, а радиус не изменяется.

По условию точка $B$ также лежит на окружности $\omega_2$. Следовательно, точка $B$ является точкой пересечения окружности $\omega_2$ и образа первой окружности $\omega_1'$.

Алгоритм построения:

1. Выбираем одну из окружностей, например, $\omega_1$.
2. Строим ее образ $\omega_1'$ при центральной симметрии относительно точки $P$. Для этого строим новый центр $O_1'$ (так, что $P$ — середина отрезка $O_1O_1'$) и чертим окружность с тем же радиусом $r_1$.
3. Находим точки пересечения $B_i = \omega_1' \cap \omega_2$. Таких точек может быть ноль, одна или две.
4. Для каждой найденной точки $B_i$ строим соответствующую точку $A_i$ на окружности $\omega_1$ с помощью того же преобразования: $A_i = S_P(B_i)$.

Полученные отрезки $A_iB_i$ являются искомыми. Задача может иметь 0, 1 или 2 решения.

Ответ: Искомый отрезок строится с помощью центральной симметрии одной из окружностей относительно данной точки. Конец отрезка на второй окружности находится как точка пересечения этой окружности с образом первой.

г) является кратчайшим из отрезков, проходящих через данную точку и имеющих концами точки на двух данных прямых.

Пусть даны две прямые $l_1$ и $l_2$, а также точка $P$. Требуется построить отрезок $AB$ ($A \in l_1$, $B \in l_2$), который проходит через точку $P$ и имеет наименьшую возможную длину.

Рассмотрим два случая взаимного расположения прямых.

Случай 1: Прямые $l_1$ и $l_2$ параллельны.

Кратчайшим расстоянием между двумя параллельными прямыми является длина их общего перпендикуляра. Любой другой отрезок с концами на этих прямых будет длиннее. Следовательно, искомый отрезок $AB$ должен быть перпендикулярен прямым $l_1$ и $l_2$. Так как он должен проходить через точку $P$, то он лежит на прямой, проходящей через $P$ и перпендикулярной $l_1$ и $l_2$.

Алгоритм построения:

1. Провести через точку $P$ прямую $m$, перпендикулярную прямым $l_1$ и $l_2$.
2. Точки пересечения прямой $m$ с прямыми $l_1$ и $l_2$ будут концами искомого отрезка $A$ и $B$.

Случай 2: Прямые $l_1$ и $l_2$ пересекаются.

Это более сложный случай, который решается сведением к другой задаче с помощью центральной симметрии. Пусть $S_P$ - центральная симметрия относительно точки $P$.

Преобразуем исходную задачу: длина отрезка $|AB| = |AP| + |PB|$. Пусть $A'$ - образ точки $A$ при симметрии $S_P$. Тогда $A'$ лежит на образе прямой $l_1$, то есть на $l_1' = S_P(l_1)$. При этом $|AP| = |A'P|$, и точки $A', P, B$ лежат на одной прямой. Тогда $|AB| = |A'B|$. Таким образом, задача сводится к поиску кратчайшего отрезка $A'B$, проходящего через точку $P$ и соединяющего прямые $l_1'$ и $l_2$.

Известно, что кратчайшим таким отрезком является тот, для которого точка $P$ служит серединой. То есть, мы ищем отрезок $A'B$ ($A' \in l_1'$, $B \in l_2$), для которого $B = S_P(A')$.

Для построения такого отрезка $A'B$ заметим, что если $B = S_P(A')$, а $A'$ лежит на $l_1'$, то $B$ должен лежать на образе прямой $l_1'$, т.е. на $S_P(l_1') = S_P(S_P(l_1)) = l_1$. Итак, точка $B$ должна лежать на прямой $l_1$. По условию $B$ также лежит на $l_2$. Это рассуждение неверно.

Правильное рассуждение: мы ищем $A' \in l_1'$ и $B \in l_2$ так, что $P$ - середина $A'B$. Это значит, что $A' = S_P(B)$. Так как $B \in l_2$, то $A' \in S_P(l_2) = l_2'$. Таким образом, точка $A'$ является точкой пересечения прямых $l_1'$ и $l_2'$.

Алгоритм построения:

1. Строим образы прямых $l_1$ и $l_2$ при центральной симметрии относительно точки $P$. Получаем прямые $l_1' = S_P(l_1)$ и $l_2' = S_P(l_2)$. (Прямая $l_1'$ параллельна $l_1$, $l_2'$ параллельна $l_2$).
2. Находим точку пересечения $A' = l_1' \cap l_2'$.
3. Находим точку $B$, симметричную $A'$ относительно $P$: $B = S_P(A')$. Эта точка лежит на прямой $l_2$ и является одним концом искомого отрезка.
4. Проводим прямую через точки $P$ и $B$.
5. Точка пересечения этой прямой с прямой $l_1$ является вторым концом отрезка — точкой $A$.

Полученный отрезок $AB$ является искомым.

Ответ: Если прямые параллельны, искомый отрезок — это отрезок перпендикуляра к ним, проходящего через данную точку. Если прямые пересекаются, отрезок строится с помощью нахождения точки пересечения образов данных прямых при центральной симметрии относительно данной точки.