Номер 723, страница 213 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

723. Постройте треугольник по его:

а) острому углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон;

б) углу, прилежащей к нему стороне и разности двух других сторон;

в) двум углам и сумме противолежащих сторон;

г) двум углам и разности противолежащих сторон;

д) двум углам и периметру;

е) высоте, медиане и биссектрисе, проведенным из одной вершины.

а) по острому углу, прилежащей к нему стороне и сумме двух других сторон

Пусть нам даны острый угол $\angle A$, прилежащая к нему сторона $c$ и сумма двух других сторон $s = a+b$. Требуется построить треугольник $\triangle ABC$.

Анализ:

Предположим, что искомый треугольник $\triangle ABC$ построен. На луче $AC$ отложим отрезок $CD$, равный стороне $BC=a$. Тогда точка $C$ лежит между $A$ и $D$, и длина отрезка $AD$ равна $AC+CD = b+a = s$. Рассмотрим треугольник $\triangle ABD$. В этом треугольнике нам известны: сторона $AB=c$, сторона $AD=s$ и угол между ними $\angle BAD = \angle A$. Таким образом, мы можем построить $\triangle ABD$ по двум сторонам и углу между ними.

Вершина $C$ искомого треугольника лежит на стороне $AD$. Так как $CD=CB$ по построению, точка $C$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему эти точки. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения отрезка $AD$ и серединного перпендикуляра к отрезку $BD$.

Построение:

1. Строим угол, равный данному углу $\angle A$. Обозначим его вершину буквой $A$.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок $AD$, равный данной сумме $s$.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра с отрезком $AD$ является третьей вершиной искомого треугольника — точкой $C$.
7. Соединяем точки $A$, $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном треугольнике $\triangle ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle BAC=\angle A$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$, поэтому $CB=CD$. Сумма сторон $AC+CB = AC+CD = AD = s$. Таким образом, треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи. Построение возможно, так как по неравенству треугольника для $\triangle ABC$ имеем $a+b > c$, то есть $s>c$, что обеспечивает существование $\triangle ABD$.

Ответ: Построение основано на построении вспомогательного треугольника $\triangle ABD$, где $AD=a+b$, $AB=c$, $\angle A$ — заданный угол. Вершина $C$ находится как пересечение стороны $AD$ и серединного перпендикуляра к $BD$.

б) по углу, прилежащей к нему стороне и разности двух других сторон

Пусть нам даны угол $\angle A$, прилежащая к нему сторона $c=AB$ и разность двух других сторон $d = |b-a| = |AC-BC|$. Рассмотрим случай, когда $b>a$ ($AC>BC$), то есть $d=b-a$.

Анализ:

Предположим, искомый треугольник $\triangle ABC$ построен. На большей стороне $AC$ отложим от вершины $A$ отрезок $AD$, равный разности $d=b-a$. Тогда точка $D$ лежит на стороне $AC$. $CD = AC - AD = b - (b-a) = a = BC$. Таким образом, $\triangle BCD$ является равнобедренным с основанием $BD$.

Рассмотрим $\triangle ABD$. В нем известны сторона $AB=c$, сторона $AD=d$ и угол между ними $\angle BAD = \angle A$. Мы можем построить $\triangle ABD$ по двум сторонам и углу между ними.

Вершина $C$ лежит на луче $AD$. Так как $CB=CD$, точка $C$ равноудалена от точек $B$ и $D$. Следовательно, $C$ лежит на серединном перпендикуляре к отрезку $BD$. Точка $C$ — это точка пересечения луча $AD$ и серединного перпендикуляра к $BD$.

Построение:

1. Строим угол, равный данному углу $\angle A$. Обозначим его вершину буквой $A$.
2. На одной стороне угла откладываем отрезок $AD$, равный данной разности $d$.
3. На другой стороне угла откладываем отрезок $AB$, равный данной стороне $c$.
4. Соединяем точки $B$ и $D$ отрезком.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $BD$.
6. Точка пересечения серединного перпендикуляра с прямой, содержащей отрезок $AD$, является вершиной $C$.
7. Соединяем точки $A, B, C$. Треугольник $ABC$ — искомый.

Доказательство:

В построенном $\triangle ABC$ сторона $AB=c$ и $\angle CAB = \angle A$ по построению. Точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $BD$, значит $CB=CD$. Разность сторон $AC-BC = AC-CD = AD = d$. Треугольник удовлетворяет условиям. Построение возможно, если $c>d$ (неравенство треугольника для $\triangle ABD$), что соответствует неравенству $c > b-a \Leftrightarrow c+a>b$ для $\triangle ABC$. Случай $a>b$ решается аналогично, откладывая отрезок $AD=d$ на продолжении стороны $AC$ за вершину $A$.

Ответ: Построение основано на построении вспомогательного треугольника $\triangle ABD$, где $AD=|a-b|$, $AB=c$, $\angle A$ — заданный угол. Вершина $C$ находится как пересечение прямой $AD$ и серединного перпендикуляра к $BD$.

в) по двум углам и сумме противолежащих сторон

Пусть даны углы $\angle A$, $\angle B$ и сумма противолежащих им сторон $s=a+b$. Третий угол $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ также известен.

Анализ и построение (метод подобия):

По двум углам можно определить форму треугольника, а по сумме сторон — его размеры.

1. Строим произвольный треугольник $A'B'C'$ с углами, равными данным: $\angle A'=\angle A$, $\angle B'=\angle B$, $\angle C'=\angle C$. Для этого строим произвольный отрезок $A'B'$ и на его концах откладываем углы $\angle A'$ и $\angle B'$.
2. Измеряем в построенном треугольнике $A'B'C'$ стороны $a'$ (противолежащую $\angle A'$) и $b'$ (противолежащую $\angle B'$). Находим их сумму $s' = a'+b'$.
3. Искомый треугольник $ABC$ подобен треугольнику $A'B'C'$. Коэффициент подобия $k$ равен отношению данной суммы сторон к найденной: $k = s/s'$.
4. Строим стороны искомого треугольника: $a=k \cdot a'$, $b=k \cdot b'$, $c=k \cdot c'$. Это можно сделать, используя теорему Фалеса для построения отрезков, пропорциональных данным.
5. Строим искомый треугольник $ABC$ по трём найденным сторонам $a, b, c$.

Ответ: Задача решается методом подобия. Сначала строится любой треугольник $A'B'C'$ с заданными углами, затем измеряются его стороны $a', b'$, находится их сумма $s'$. Коэффициент подобия $k=s/s'$ позволяет найти стороны искомого треугольника $a=ka', b=kb', c=kc'$ и построить его по трём сторонам.

г) по двум углам и разности противолежащих сторон

Пусть даны углы $\angle A$, $\angle B$ и разность противолежащих им сторон $d=|a-b|$. Третий угол $\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B$ также известен.

Анализ и построение (метод подобия):

Как и в предыдущем пункте, форма треугольника определяется углами, а размер — разностью сторон.

1. Строим произвольный треугольник $A'B'C'$ с углами $\angle A'=\angle A$, $\angle B'=\angle B$, $\angle C'=\angle C$.
2. Измеряем стороны $a'$ и $b'$. Находим их разность $d' = |a'-b'|$.
3. Находим коэффициент подобия $k = d/d'$.
4. Строим стороны искомого треугольника, например, сторону $c = k \cdot c'$.
5. Строим искомый треугольник $ABC$ по стороне $c$ и двум прилежащим к ней углам $\angle A$ и $\angle B$.

Ответ: Задача решается методом подобия. Строится вспомогательный треугольник $A'B'C'$ с заданными углами, находится разность его сторон $d'=|a'-b'|$. Коэффициент подобия $k=d/d'$ используется для нахождения одной из сторон искомого треугольника (например, $c=k \cdot c'$), после чего треугольник строится по стороне и двум прилежащим углам.

д) по двум углам и периметру

Пусть даны два угла (например, $\angle B$ и $\angle C$) и периметр $P = a+b+c$.

Анализ:

Предположим, что треугольник $ABC$ построен. На прямой, содержащей сторону $BC$, отложим от точки $B$ в сторону, противоположную $C$, отрезок $BD=AB=c$. От точки $C$ в сторону, противоположную $B$, отложим отрезок $CE=AC=b$. Тогда длина отрезка $DE = DB+BC+CE = c+a+b = P$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ACE$. Они равнобедренные. В $\triangle ABD$, $\angle ADB = \angle DAB$. Угол $\angle ABC$ (или $\angle B$) является внешним для $\triangle ABD$ при вершине $B$. Значит, $\angle B = \angle ADB + \angle DAB = 2\angle ADB$. Отсюда $\angle ADB = \angle B / 2$. Аналогично, в $\triangle ACE$, $\angle C$ является внешним, поэтому $\angle C = 2\angle AEC$. Отсюда $\angle AEC = \angle C / 2$.

Теперь рассмотрим $\triangle ADE$. Нам известна его сторона $DE=P$ и два прилежащих к ней угла: $\angle D = \angle B/2$ и $\angle E = \angle C/2$. Мы можем построить $\triangle ADE$. Вершины $B$ и $C$ лежат на отрезке $DE$. Так как $AB=DB$, точка $B$ лежит на серединном перпендикуляре к $AD$. Так как $AC=EC$, точка $C$ лежит на серединном перпендикуляре к $AE$.

Построение:

1. Строим отрезок $DE$ длиной $P$.
2. От луча $DE$ в одной полуплоскости строим угол $\angle EDX = \angle B/2$.
3. От луча $ED$ в той же полуплоскости строим угол $\angle DEY = \angle C/2$.
4. Точка пересечения лучей $DX$ и $EY$ есть вершина $A$.
5. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AD$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $B$.
6. Строим серединный перпендикуляр к отрезку $AE$. Точка его пересечения с отрезком $DE$ есть вершина $C$.
7. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение основано на построении вспомогательного треугольника $\triangle ADE$, где $DE=P$, $\angle D=\angle B/2$, $\angle E=\angle C/2$. Вершины $B$ и $C$ находятся как пересечения стороны $DE$ с серединными перпендикулярами к сторонам $AD$ и $AE$ соответственно.

е) по высоте, медиане и биссектрисе, проведенным из одной вершины

Пусть из вершины $A$ треугольника $ABC$ проведены высота $AH$, биссектриса $AL$ и медиана $AM$. Даны их длины: $h_a = AH$, $l_a = AL$, $m_a = AM$.

Анализ:

Точки $H, L, M$ лежат на прямой, содержащей сторону $BC$. 1. Известно, что биссектриса угла треугольника лежит между медианой и высотой, проведенными из той же вершины. Поэтому $h_a \le l_a \le m_a$. 2. В прямоугольном треугольнике $\triangle AHM$ известны гипотенуза $AM=m_a$ и катет $AH=h_a$. Это позволяет найти положение точек $A, H, M$ относительно друг друга. 3. Существует свойство: биссектриса угла треугольника $AL$ также является биссектрисой угла $\angle HAO$, где $O$ — центр описанной окружности. Причем лучи $AH$ и $AO$ лежат по разные стороны от биссектрисы $AL$.

Это свойство позволяет найти центр описанной окружности $O$. Точка $O$ должна лежать на прямой, полученной отражением луча $AH$ относительно луча $AL$. Также центр описанной окружности лежит на серединном перпендикуляре к стороне $BC$. Этот перпендикуляр проходит через точку $M$ и перпендикулярен прямой $HM$.

Построение:

1. Строим прямоугольный треугольник $\triangle AHM$ по гипотенузе $m_a$ и катету $h_a$. Для этого строим отрезок $AH=h_a$, проводим через $H$ перпендикулярную ему прямую (это будет прямая $BC$). Из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $m_a$, которая пересечет прямую $BC$ в точке $M$.
2. На прямой $BC$ находим точку $L$. Для этого из точки $A$ проводим дугу окружности радиусом $l_a$. Она пересечет прямую $BC$ в двух точках. Выбираем ту, что лежит между $H$ и $M$. (В случае вырождения $H, L, M$ могут совпадать).
3. Теперь у нас есть точки $A, H, L, M$. Строим луч $AL$.
4. Строим луч $AO$, симметричный лучу $AH$ относительно прямой $AL$. (То есть, строим $\angle OAL = \angle HAL$ так, чтобы лучи $AO$ и $AH$ были по разные стороны от $AL$).
5. Через точку $M$ проводим прямую, перпендикулярную прямой $BC$.
6. Точка пересечения этой прямой и луча $AO$ есть центр описанной окружности $O$.
7. Строим окружность с центром $O$ и радиусом $OA$.
8. Точки пересечения этой окружности с прямой $BC$ являются вершинами $B$ и $C$.
9. Треугольник $ABC$ — искомый.

Ответ: Построение начинается с определения взаимного расположения точек $A, H, L, M$. Затем используется свойство, что биссектриса $AL$ делит пополам угол между высотой $AH$ и прямой $AO$ (где $O$ - центр описанной окружности). Это позволяет найти $O$ как пересечение прямой $AO$ и серединного перпендикуляра к стороне $BC$ (проходящего через $M$). Вершины $B$ и $C$ находятся как пересечение описанной окружности и прямой, на которой лежит основание.