Номер 714, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

714. Есть квадрат $PQRS$. Найдите геометрическое место точек $Z$ плоскости, для которых $ZP + ZR = ZQ + ZS$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим квадрат $PQRS$ в декартову систему координат так, чтобы его центр совпадал с началом координат, а его стороны были параллельны осям координат. Пусть длина стороны квадрата равна $2a$. Тогда вершины квадрата будут иметь следующие координаты: $P(-a, a)$, $Q(a, a)$, $R(a, -a)$ и $S(-a, -a)$.

Пусть точка $Z$ имеет произвольные координаты $(x, y)$. Расстояния от точки $Z$ до вершин квадрата вычисляются по формуле расстояния между двумя точками:

$ZP = \sqrt{(x - (-a))^2 + (y - a)^2} = \sqrt{(x+a)^2 + (y-a)^2}$

$ZQ = \sqrt{(x - a)^2 + (y - a)^2}$

$ZR = \sqrt{(x - a)^2 + (y - (-a))^2} = \sqrt{(x-a)^2 + (y+a)^2}$

$ZS = \sqrt{(x - (-a))^2 + (y - (-a))^2} = \sqrt{(x+a)^2 + (y+a)^2}$

Согласно условию задачи, должно выполняться равенство $ZP + ZR = ZQ + ZS$. Подставим выражения для расстояний в это равенство:

$\sqrt{(x+a)^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x-a)^2 + (y+a)^2} = \sqrt{(x-a)^2 + (y-a)^2} + \sqrt{(x+a)^2 + (y+a)^2}$

Для упрощения этого уравнения введем следующие обозначения:

$U = (x+a)^2$

$V = (x-a)^2$

$W = (y-a)^2$

$T = (y+a)^2$

В новых обозначениях уравнение примет вид:

$\sqrt{U+W} + \sqrt{V+T} = \sqrt{V+W} + \sqrt{U+T}$

Поскольку все слагаемые являются неотрицательными величинами, мы можем возвести обе части уравнения в квадрат:

$(\sqrt{U+W} + \sqrt{V+T})^2 = (\sqrt{V+W} + \sqrt{U+T})^2$

$(U+W) + (V+T) + 2\sqrt{(U+W)(V+T)} = (V+W) + (U+T) + 2\sqrt{(V+W)(U+T)}$

Сократив одинаковые слагаемые $U, V, W, T$ в обеих частях, получим:

$2\sqrt{(U+W)(V+T)} = 2\sqrt{(V+W)(U+T)}$

$\sqrt{(U+W)(V+T)} = \sqrt{(V+W)(U+T)}$

Снова возведем обе части в квадрат:

$(U+W)(V+T) = (V+W)(U+T)$

Раскрыв скобки, получаем:

$UV + UT + WV + WT = VU + VT + WU + WT$

После сокращения одинаковых членов ($UV$ и $WT$) получаем:

$UT + WV = VT + WU$

Перенесем члены и сгруппируем их:

$UT - VT = WU - WV$

$T(U-V) = W(U-V)$

$(T-W)(U-V) = 0$

Это уравнение истинно, если хотя бы один из множителей равен нулю: либо $U-V=0$, либо $T-W=0$.

Рассмотрим каждый случай отдельно:

1. $U - V = 0$. Подставим исходные выражения для $U$ и $V$:

$(x+a)^2 - (x-a)^2 = 0$

$(x^2 + 2ax + a^2) - (x^2 - 2ax + a^2) = 0$

$4ax = 0$

Так как $a \ne 0$ (половина стороны квадрата), отсюда следует, что $x=0$. Уравнение $x=0$ задает ось ординат ($Oy$), которая является одной из осей симметрии квадрата (серединный перпендикуляр к сторонам $PQ$ и $RS$).

2. $T - W = 0$. Подставим исходные выражения для $T$ и $W$:

$(y+a)^2 - (y-a)^2 = 0$

$(y^2 + 2ay + a^2) - (y^2 - 2ay + a^2) = 0$

$4ay = 0$

Так как $a \ne 0$, отсюда следует, что $y=0$. Уравнение $y=0$ задает ось абсцисс ($Ox$), которая является второй осью симметрии квадрата (серединный перпендикуляр к сторонам $PS$ и $QR$).

Таким образом, геометрическое место точек $Z$, удовлетворяющих заданному условию, представляет собой объединение двух прямых: $x=0$ и $y=0$. Эти прямые являются осями симметрии квадрата, проходящими через его центр и параллельными его сторонам.

Ответ:

Искомое геометрическое место точек — это объединение двух прямых, которые являются осями симметрии квадрата, перпендикулярными его сторонам (т.е. прямые, проходящие через центр квадрата параллельно его сторонам).