Номер 713, страница 212 - гдз по геометрии 11 класс учебник Латотин, Чеботаревский

713. Есть две точки $I$ и $J$. На прямой $IJ$ выбирается точка $X$ и строятся квадраты со сторонами $IX$ и $JX$ по одну сторону от прямой $IJ$. Найдите геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки пересечения диагоналей построенных квадратов.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямую $IJ$ на ось абсцисс $Ox$. Пусть точка $I$ совпадает с началом координат $(0, 0)$, а точка $J$ имеет координаты $(d, 0)$, где $d$ — расстояние между $I$ и $J$. Точка $X$, принадлежащая прямой $IJ$, будет иметь координаты $(x, 0)$ для некоторого действительного числа $x$.

По условию, квадраты строятся по одну сторону от прямой $IJ$. Будем считать, что они строятся в верхней полуплоскости ($y \ge 0$).

1. Нахождение центров квадратов

Первый квадрат строится на стороне $IX$. Его вершины — это точки $I(0, 0)$ и $X(x, 0)$. Длина стороны этого квадрата равна $|IX| = |x-0| = |x|$. Две другие вершины квадрата в верхней полуплоскости будут иметь координаты $(0, |x|)$ и $(x, |x|)$. Центр квадрата, $C_1$, является серединой его диагонали. Найдем координаты $C_1$ как середину отрезка, соединяющего вершины $(0, 0)$ и $(x, |x|)$:

$C_1 = \left( \frac{0+x}{2}, \frac{0+|x|}{2} \right) = \left( \frac{x}{2}, \frac{|x|}{2} \right)$

Второй квадрат строится на стороне $JX$. Его вершины — это точки $J(d, 0)$ и $X(x, 0)$. Длина стороны этого квадрата равна $|JX| = |x-d|$. Две другие вершины в верхней полуплоскости будут иметь координаты $(d, |x-d|)$ и $(x, |x-d|)$. Центр этого квадрата, $C_2$, является серединой его диагонали. Найдем координаты $C_2$ как середину отрезка, соединяющего вершины $(d, 0)$ и $(x, |x-d|)$:

$C_2 = \left( \frac{d+x}{2}, \frac{0+|x-d|}{2} \right) = \left( \frac{d+x}{2}, \frac{|x-d|}{2} \right)$

2. Нахождение искомого геометрического места точек (ГМТ)

Мы ищем геометрическое место середин отрезков $C_1C_2$. Обозначим такую середину буквой $M$ с координатами $(x_M, y_M)$.

$x_M = \frac{x_{C1} + x_{C2}}{2} = \frac{\frac{x}{2} + \frac{d+x}{2}}{2} = \frac{2x+d}{4}$

$y_M = \frac{y_{C1} + y_{C2}}{2} = \frac{\frac{|x|}{2} + \frac{|x-d|}{2}}{2} = \frac{|x| + |x-d|}{4}$

Чтобы найти уравнение ГМТ, проанализируем координаты точки $M$ в зависимости от положения точки $X$ на прямой $IJ$.

Случай 1: Точка $X$ лежит между точками $I$ и $J$.

В этом случае $0 \le x \le d$. Тогда $|x| = x$ и $|x-d| = -(x-d) = d-x$.

$y_M = \frac{x + (d-x)}{4} = \frac{d}{4}$

Координата $y_M$ постоянна. Найдем диапазон изменения $x_M$:

При $x=0$ (когда $X$ совпадает с $I$), $x_M = \frac{2(0)+d}{4} = \frac{d}{4}$.

При $x=d$ (когда $X$ совпадает с $J$), $x_M = \frac{2(d)+d}{4} = \frac{3d}{4}$.

Таким образом, когда $X$ движется от $I$ до $J$, точка $M$ описывает горизонтальный отрезок прямой $y = d/4$ от точки $P_1(d/4, d/4)$ до точки $P_2(3d/4, d/4)$.

Случай 2: Точка $X$ лежит на прямой $IJ$ правее точки $J$.

В этом случае $x > d$. Тогда $|x| = x$ и $|x-d| = x-d$.

$x_M = \frac{2x+d}{4}$

$y_M = \frac{x + (x-d)}{4} = \frac{2x-d}{4}$

Выразим $x$ через $x_M$: $4x_M = 2x+d \Rightarrow 2x = 4x_M - d$.

Подставим в выражение для $y_M$: $y_M = \frac{(4x_M - d) - d}{4} = \frac{4x_M - 2d}{4} = x_M - \frac{d}{2}$.

Точка $M$ движется по прямой $y = x - d/2$. Этот случай начинается при $x=d$, что соответствует точке $P_2(3d/4, d/4)$. Следовательно, эта часть ГМТ — луч, выходящий из точки $P_2$ под углом 45° к прямой $IJ$.

Случай 3: Точка $X$ лежит на прямой $IJ$ левее точки $I$.

В этом случае $x < 0$. Тогда $|x| = -x$ и $|x-d| = -(x-d) = d-x$.

$x_M = \frac{2x+d}{4}$

$y_M = \frac{-x + (d-x)}{4} = \frac{d-2x}{4}$

Выразим $x$ через $x_M$: $2x = 4x_M - d$.

Подставим в выражение для $y_M$: $y_M = \frac{d - (4x_M - d)}{4} = \frac{2d - 4x_M}{4} = \frac{d}{2} - x_M$.

Точка $M$ движется по прямой $y = -x + d/2$. Этот случай начинается при $x=0$, что соответствует точке $P_1(d/4, d/4)$. Следовательно, эта часть ГМТ — луч, выходящий из точки $P_1$ под углом 135° к прямой $IJ$.

Геометрическая интерпретация

Искомое ГМТ представляет собой ломаную линию, состоящую из отрезка $P_1P_2$ и двух лучей. Опишем эту ломаную в геометрических терминах.

Построим на отрезке $IJ$ квадрат (с той же стороны, что и остальные). Пусть $C$ — центр этого квадрата. В наших координатах $C$ имеет координаты $(d/2, d/2)$.

Точка $P_1(d/4, d/4)$ является серединой отрезка $IC$.

Точка $P_2(3d/4, d/4)$ является серединой отрезка $JC$.

Отрезок $P_1P_2$ — это средняя линия треугольника $IJC$, она параллельна стороне $IJ$ и равна ее половине.

Луч, выходящий из $P_1$, лежит на прямой $y=-x+d/2$ и перпендикулярен отрезку $IC$ (угловые коэффициенты их прямых равны $-1$ и $1$).

Луч, выходящий из $P_2$, лежит на прямой $y=x-d/2$ и перпендикулярен отрезку $JC$ (угловые коэффициенты их прямых равны $1$ и $-1$).

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это ломаная линия. Чтобы ее построить, нужно выполнить следующие действия:

1. Построить на отрезке $IJ$ квадрат (по ту же сторону, где строятся остальные квадраты) и найти его центр $C$.
2. Найти точку $P_1$ — середину отрезка $IC$.
3. Найти точку $P_2$ — середину отрезка $JC$.

Искомое ГМТ состоит из отрезка $P_1P_2$, луча, выходящего из точки $P_1$ перпендикулярно отрезку $IC$ (в направлении от прямой $P_1P_2$), и луча, выходящего из точки $P_2$ перпендикулярно отрезку $JC$ (в направлении от прямой $P_1P_2$).