Номер 19, страница 42 - гдз по математике 5 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. Верно ли, что:

а) число $70\ 524$ кратно $108$;

б) число $70\ 525$ кратно $25$?

а) число 70 524 кратно 108;

Чтобы проверить, является ли число 70 524 кратным 108, нужно определить, делится ли 70 524 на 108 без остатка. Это можно сделать двумя способами.

Способ 1: Использование признаков делимости.

Сначала разложим делитель 108 на множители: $108 = 4 \cdot 27$.
Чтобы число делилось на 108, оно должно одновременно делиться на 4 и на 27 (поскольку 4 и 27 являются взаимно простыми числами).

1. Проверим делимость на 4.
Согласно признаку делимости на 4, число делится на 4, если число, образованное его последними двумя цифрами, делится на 4. Последние две цифры числа 70 524 — это 24.
$24 \div 4 = 6$.
Так как 24 делится на 4, то и число 70 524 делится на 4.

2. Проверим делимость на 27.
Так как $27 = 3^3$, для делимости на 27 можно проверить делимость на 9 (то есть на $3^2$), а затем проверить, делится ли результат на 3.
Проверим делимость на 9. Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Сумма цифр числа 70 524 равна: $7 + 0 + 5 + 2 + 4 = 18$.
$18 \div 9 = 2$.
Сумма цифр (18) делится на 9, значит, и число 70 524 делится на 9.
Теперь разделим 70 524 на 9, чтобы проверить делимость на 3 оставшегося множителя: $70524 \div 9 = 7836$.
Проверим, делится ли частное 7836 на 3. Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Сумма цифр числа 7836: $7 + 8 + 3 + 6 = 24$.
$24 \div 3 = 8$.
Сумма цифр (24) делится на 3, значит, 7836 делится на 3. Следовательно, 70 524 делится на 27.

Поскольку число 70 524 делится и на 4, и на 27, оно делится и на их произведение, то есть на 108.

Способ 2: Прямое деление.

Выполним деление 70 524 на 108:
$70524 \div 108 = 653$.
Деление выполняется нацело, без остатка. Это подтверждает, что 70 524 кратно 108.

Ответ: да, верно.

б) число 70 525 кратно 25?

Чтобы проверить, кратно ли число 70 525 числу 25, воспользуемся признаком делимости на 25.

Число делится на 25 без остатка, если две его последние цифры образуют число, которое делится на 25. Такими числами являются 00, 25, 50, 75.

Число 70 525 оканчивается на 25.

Поскольку 25 делится на 25 ($25 \div 25 = 1$), то и всё число 70 525 делится на 25.

Для проверки можно выполнить деление:
$70525 \div 25 = 2821$.
Деление выполнено без остатка, результат — целое число. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: да, верно.