Номер 378, страница 74 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

378. Выберите дроби, которые можно представить в виде конечных десятичных дробей: $ \frac{1}{8} $; $ \frac{2}{3} $; $ \frac{4}{25} $; $ \frac{2}{9} $; $ \frac{7}{5} $; $ \frac{3}{4} $; $ \frac{7}{15} $.

Обыкновенную несократимую дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда разложение ее знаменателя на простые множители не содержит никаких других простых множителей, кроме 2 и 5. Проверим каждую из предложенных дробей.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 8. Разложим его на простые множители: $8 = 2^3$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 2, дробь можно представить в виде конечной десятичной. $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{125}{1000} = 0,125$. Ответ: можно.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 3. Разложение знаменателя — это простое число 3. Так как в разложении присутствует множитель 3 (отличный от 2 и 5), дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Она преобразуется в бесконечную периодическую дробь: $\frac{2}{3} = 0,666... = 0,(6)$. Ответ: нельзя.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 25. Разложим его на простые множители: $25 = 5^2$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 5, дробь можно представить в виде конечной десятичной. $\frac{4}{25} = \frac{4 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{16}{100} = 0,16$. Ответ: можно.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 9. Разложим его на простые множители: $9 = 3^2$. Так как в разложении присутствует множитель 3 (отличный от 2 и 5), дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Она преобразуется в бесконечную периодическую дробь: $\frac{2}{9} = 0,222... = 0,(2)$. Ответ: нельзя.

Дробь несократимая и неправильная. Выделим целую часть: $\frac{7}{5} = \textbf{1}\frac{2}{5}$. Знаменатель дробной части равен 5. Разложение знаменателя — это простое число 5. Так как в разложении присутствует только множитель 5, дробь можно представить в виде конечной десятичной. $\frac{7}{5} = \frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{14}{10} = 1,4$. Ответ: можно.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 4. Разложим его на простые множители: $4 = 2^2$. Так как разложение знаменателя содержит только множитель 2, дробь можно представить в виде конечной десятичной. $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{75}{100} = 0,75$. Ответ: можно.

Дробь несократимая. Знаменатель равен 15. Разложим его на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$. Так как в разложении присутствует множитель 3 (отличный от 2 и 5), дробь нельзя представить в виде конечной десятичной. Она преобразуется в бесконечную периодическую дробь: $\frac{7}{15} = 0,4666... = 0,4(6)$. Ответ: нельзя.

Таким образом, дроби, которые можно представить в виде конечных десятичных: $\frac{1}{8}$, $\frac{4}{25}$, $\frac{7}{5}$, $\frac{3}{4}$.