Номер 207, страница 132 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

207. Длина Дуная относится к длине Днепра как $6 \frac{1}{3}$ к 5, а длина Дона относится к длине Дуная как $6.5$ к $9.5$. Найдите протяжённость каждой из рек, если Днепр длиннее Дона на 300 км.

Для решения задачи обозначим длины рек следующими переменными:

• $Ду$ — длина Дуная
• $Дн$ — длина Днепра
• $До$ — длина Дона

Исходя из условия, запишем соотношения длин рек:

1. Отношение длины Дуная к длине Днепра: $ \frac{Ду}{Дн} = \frac{6\frac{1}{3}}{5} $

2. Отношение длины Дона к длине Дуная: $ \frac{До}{Ду} = \frac{6,5}{9,5} $

3. Днепр длиннее Дона на 300 км: $ Дн = До + 300 $

Шаг 1: Упрощение соотношений

Приведем отношения к виду простых целых чисел. Для первого отношения преобразуем смешанную дробь $6\frac{1}{3}$ в неправильную: $6\frac{1}{3} = \frac{6 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{19}{3}$.

Теперь найдем отношение: $ \frac{Ду}{Дн} = \frac{\frac{19}{3}}{5} = \frac{19}{3 \cdot 5} = \frac{19}{15} $

Таким образом, отношение длин Дуная и Днепра составляет $19:15$.

Для второго отношения избавимся от десятичных дробей, умножив числитель и знаменатель на 10, а затем сократим полученную дробь:

$ \frac{До}{Ду} = \frac{6,5}{9,5} = \frac{65}{95} = \frac{65 \div 5}{95 \div 5} = \frac{13}{19} $

Таким образом, отношение длин Дона и Дуная составляет $13:19$.

Шаг 2: Составление общего отношения

Теперь у нас есть два отношения, связанные через длину Дуная:

• $ Ду : Дн = 19 : 15 $
• $ До : Ду = 13 : 19 $

Так как в обоих случаях Дунаю соответствует 19 частей, мы можем составить общее тройное отношение длин рек:

$ До : Ду : Дн = 13 : 19 : 15 $

Шаг 3: Нахождение длин рек

Пусть $x$ — это коэффициент пропорциональности, то есть длина одной части в километрах. Тогда длины рек можно выразить как:

• $До = 13x$
• $Ду = 19x$
• $Дн = 15x$

Используем условие, что Днепр длиннее Дона на 300 км ($Дн - До = 300$), и подставим в него наши выражения:

$ 15x - 13x = 300 $

$ 2x = 300 $

$ x = \frac{300}{2} = 150 $

Теперь, зная значение $x$, вычислим протяжённость каждой реки.

Протяжённость Дуная: Длина реки соответствует 19 частям, поэтому её протяжённость составляет $19 \cdot 150 = 2850$ км. Ответ: 2850 км.

Протяжённость Днепра: Длина реки соответствует 15 частям, поэтому её протяжённость составляет $15 \cdot 150 = 2250$ км. Ответ: 2250 км.

Протяжённость Дона: Длина реки соответствует 13 частям, поэтому её протяжённость составляет $13 \cdot 150 = 1950$ км. Ответ: 1950 км.