Номер 5, страница 177 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

5. Решите задачу. Каждый из учащихся класса занимается в кружках: 15 человек — в математическом, 10 — в географическом и 9 — в кружке робототехники, 6 человек — в математическом и географическом, 5 — в географическом и робототехники, 3 — в математическом и робототехники. Один человек посещает все три кружка. Сколько человек в классе?

a) 34;

б) 20;

в) 19;

г) 21.

Выберите правильный ответ.

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений для трех множеств. Обозначим множества учащихся, посещающих кружки, следующим образом:

$M$ — множество учащихся в математическом кружке, $|M| = 15$.

$G$ — множество учащихся в географическом кружке, $|G| = 10$.

$R$ — множество учащихся в кружке робототехники, $|R| = 9$.

Далее, обозначим пересечения этих множеств:

$|M \cap G| = 6$ — количество учащихся, посещающих и математический, и географический кружки.

$|G \cap R| = 5$ — количество учащихся, посещающих и географический кружок, и кружок робототехники.

$|M \cap R| = 3$ — количество учащихся, посещающих и математический кружок, и кружок робототехники.

$|M \cap G \cap R| = 1$ — количество учащихся, посещающих все три кружка.

Поскольку каждый учащийся класса занимается хотя бы в одном кружке, общее количество человек в классе равно количеству элементов в объединении этих трех множеств, то есть $|M \cup G \cup R|$.

Формула для нахождения объединения трех множеств:

$|M \cup G \cup R| = |M| + |G| + |R| - (|M \cap G| + |M \cap R| + |G \cap R|) + |M \cap G \cap R|$

Подставим в формулу данные из условия задачи:

$|M \cup G \cup R| = 15 + 10 + 9 - (6 + 3 + 5) + 1$

Выполним вычисления:

$|M \cup G \cup R| = 34 - 14 + 1$

$|M \cup G \cup R| = 20 + 1 = 21$

Таким образом, общее количество учащихся в классе составляет 21 человек.

г) 21. Ответ: 21