Номер 27, страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

27. Постройте четырёхугольник $ABCD$, если известны координаты его вершин: $A(-4; -5)$, $B(-4; 5)$, $C(4; 3)$, $D(4; -3)$. Запишите координаты точек, в которых стороны четырёхугольника пересекают оси координат.

Для решения задачи сначала необходимо определить уравнения прямых, на которых лежат стороны четырехугольника ABCD, а затем найти точки пересечения этих прямых с осями координат. После этого нужно проверить, принадлежат ли найденные точки самим сторонам (отрезкам).

Сторона AB
Сторона проходит через точки A(-4; -5) и B(-4; 5). Так как абсциссы этих точек одинаковы ($x=-4$), сторона AB лежит на вертикальной прямой, уравнение которой $x=-4$.

• Эта прямая параллельна оси OY, следовательно, не пересекает ее.
• Пересечение с осью OX происходит при $y=0$. Координаты точки пересечения: $(-4; 0)$. Так как ордината этой точки $0$ находится между ординатами точек A и B ($-5 \le 0 \le 5$), точка принадлежит стороне AB.

Ответ: $(-4; 0)$.

Сторона BC
Сторона проходит через точки B(-4; 5) и C(4; 3). Найдем уравнение прямой по формуле $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$:
$\frac{y - 5}{3 - 5} = \frac{x - (-4)}{4 - (-4)} \Rightarrow \frac{y - 5}{-2} = \frac{x + 4}{8} \Rightarrow y - 5 = -\frac{1}{4}(x + 4) \Rightarrow y = -\frac{1}{4}x + 4$.

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = -\frac{1}{4}(0) + 4 = 4$. Координаты точки: $(0; 4)$. Точка принадлежит стороне BC, так как ее координаты удовлетворяют условиям $-4 \le 0 \le 4$ и $3 \le 4 \le 5$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = -\frac{1}{4}x + 4 \Rightarrow x=16$. Точка $(16; 0)$ не принадлежит стороне BC, так как ее абсцисса $16$ не входит в диапазон абсцисс отрезка $[-4; 4]$.

Ответ: $(0; 4)$.

Сторона CD
Сторона проходит через точки C(4; 3) и D(4; -3). Так как абсциссы этих точек одинаковы ($x=4$), сторона CD лежит на вертикальной прямой $x=4$.

• Эта прямая параллельна оси OY и не пересекает ее.
• Пересечение с осью OX происходит при $y=0$. Координаты точки пересечения: $(4; 0)$. Так как ордината $0$ находится между ординатами точек C и D ($-3 \le 0 \le 3$), точка принадлежит стороне CD.

Ответ: $(4; 0)$.

Сторона DA
Сторона проходит через точки D(4; -3) и A(-4; -5). Найдем уравнение прямой:
$\frac{y - (-3)}{-5 - (-3)} = \frac{x - 4}{-4 - 4} \Rightarrow \frac{y + 3}{-2} = \frac{x - 4}{-8} \Rightarrow y + 3 = \frac{1}{4}(x - 4) \Rightarrow y = \frac{1}{4}x - 4$.

• Пересечение с осью OY (при $x=0$): $y = \frac{1}{4}(0) - 4 = -4$. Координаты точки: $(0; -4)$. Точка принадлежит стороне DA, так как ее координаты удовлетворяют условиям $-4 \le 0 \le 4$ и $-5 \le -4 \le -3$.
• Пересечение с осью OX (при $y=0$): $0 = \frac{1}{4}x - 4 \Rightarrow x=16$. Точка $(16; 0)$ не принадлежит стороне DA, так как ее абсцисса $16$ не входит в диапазон абсцисс отрезка $[-4; 4]$.

Ответ: $(0; -4)$.