Номер 30, страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

30. На координатной плоскости постройте прямую, проходящую через точки $M(4; 4)$ и $N(-2; 2)$. Через точку $K(5; 0)$ проведите прямую, перпендикулярную прямой $MN$. Определите координаты точки пересечения прямых.

Для решения задачи последовательно выполним следующие шаги: найдем уравнение прямой $MN$, затем уравнение перпендикулярной ей прямой, проходящей через точку $K$, и, наконец, координаты их точки пересечения.

1. Нахождение уравнения прямой $MN$.

Уравнение прямой в общем виде: $y = kx + b$. Угловой коэффициент $k$ для прямой, проходящей через точки $M(x_1; y_1)$ и $N(x_2; y_2)$, вычисляется по формуле:

$k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты точек $M(4; 4)$ и $N(-2; 2)$:

$k_{MN} = \frac{2 - 4}{-2 - 4} = \frac{-2}{-6} = \frac{1}{3}$

Теперь уравнение прямой $MN$ имеет вид $y = \frac{1}{3}x + b$. Для нахождения коэффициента $b$ подставим в это уравнение координаты одной из точек, например, $M(4; 4)$:

$4 = \frac{1}{3} \cdot 4 + b$

$4 = \frac{4}{3} + b$

$b = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12}{3} - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}$

Таким образом, уравнение прямой $MN$: $y = \frac{1}{3}x + \frac{8}{3}$.

2. Нахождение уравнения прямой, перпендикулярной $MN$.

Пусть искомая прямая имеет угловой коэффициент $k_{perp}$. Условие перпендикулярности прямых: произведение их угловых коэффициентов равно -1.

$k_{MN} \cdot k_{perp} = -1$

$\frac{1}{3} \cdot k_{perp} = -1 \implies k_{perp} = -3$

Уравнение перпендикулярной прямой имеет вид $y = -3x + b$. Эта прямая проходит через точку $K(5; 0)$. Подставим ее координаты в уравнение, чтобы найти $b$:

$0 = -3 \cdot 5 + b$

$0 = -15 + b \implies b = 15$

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой: $y = -3x + 15$.

3. Определение координат точки пересечения прямых.

Чтобы найти точку пересечения, нужно решить систему из двух полученных уравнений. Для этого приравняем их правые части:

$\frac{1}{3}x + \frac{8}{3} = -3x + 15$

Умножим обе части уравнения на 3, чтобы избавиться от дробей:

$x + 8 = -9x + 45$

$x + 9x = 45 - 8$

$10x = 37$

$x = \frac{37}{10}$

Теперь найдем координату $y$, подставив значение $x$ в уравнение второй прямой (оно проще):

$y = -3x + 15 = -3 \cdot \frac{37}{10} + 15 = -\frac{111}{10} + \frac{150}{10} = \frac{39}{10}$

Координаты точки пересечения $(\frac{37}{10}; \frac{39}{10})$.

Определите координаты точки пересечения прямых: Ответ: $(3\frac{7}{10}; 3\frac{9}{10})$.