Номер 31, страница 256 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

31. Известны координаты двух вершин $A(-2; -4)$ и $B(2; -4)$ квадрата $ABCD$.

Начертите этот квадрат и определите координаты вершин $C$ и $D$ (два случая).

Даны координаты двух вершин квадрата $ABCD$: $A(-2; -4)$ и $B(2; -4)$.

Для начала определим длину стороны квадрата. Поскольку у точек $A$ и $B$ одинаковая координата $y = -4$, сторона $AB$ является горизонтальным отрезком, параллельным оси абсцисс. Длину такого отрезка можно найти как модуль разности их координат $x$:

$|AB| = |x_B - x_A| = |2 - (-2)| = |4| = 4$.

Итак, длина стороны квадрата равна 4. Стороны, прилежащие к стороне $AB$, то есть $AD$ и $BC$, должны быть ей перпендикулярны и иметь такую же длину 4. Так как $AB$ — горизонтальный отрезок, то $AD$ и $BC$ — вертикальные отрезки, параллельные оси ординат. Это означает, что у точек $A$ и $D$ будут одинаковые координаты $x$, а у точек $B$ и $C$ — также одинаковые координаты $x$.

Существует два возможных варианта расположения квадрата относительно стороны $AB$: над ней или под ней. Рассмотрим оба случая.

Для того чтобы начертить квадрат, необходимо отметить точки $A$ и $B$ на координатной плоскости и соединить их. Затем из этих точек отложить перпендикулярные отрезки ($AD$ и $BC$) длиной 4 единицы (вверх для первого случая, вниз для второго) и соединить их концы (точки $C$ и $D$).

Первый случай: Квадрат расположен "над" стороной $AB$. В этом случае координаты $y$ для вершин $C$ и $D$ будут на 4 единицы больше, чем у вершин $B$ и $A$ соответственно. Координаты вершины $C$: $x_C = x_B = 2$; $y_C = y_B + 4 = -4 + 4 = 0$. Координаты вершины $D$: $x_D = x_A = -2$; $y_D = y_A + 4 = -4 + 4 = 0$. Таким образом, в первом случае координаты вершин: $C(2; 0)$ и $D(-2; 0)$. Ответ: $C(2; 0)$, $D(-2; 0)$.

Второй случай: Квадрат расположен "под" стороной $AB$. В этом случае координаты $y$ для вершин $C$ и $D$ будут на 4 единицы меньше, чем у вершин $B$ и $A$ соответственно. Координаты вершины $C$: $x_C = x_B = 2$; $y_C = y_B - 4 = -4 - 4 = -8$. Координаты вершины $D$: $x_D = x_A = -2$; $y_D = y_A - 4 = -4 - 4 = -8$. Таким образом, во втором случае координаты вершин: $C(2; -8)$ и $D(-2; -8)$. Ответ: $C(2; -8)$, $D(-2; -8)$.