Номер 86, страница 295 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

86. Начертите в тетради треугольник $ABC$ и постройте треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно одной из его вершин.

Чтобы построить треугольник $A_1B_1C_1$, симметричный треугольнику $ABC$ относительно одной из его вершин, нужно выполнить построение, основанное на центральной симметрии. В качестве центра симметрии выберем одну из вершин исходного треугольника, например, вершину $A$.

Шаг 1. Построение исходных данных

Начертите на плоскости произвольный треугольник $ABC$. Вершина $A$ будет выбрана в качестве центра симметрии.

Шаг 2. Построение симметричных вершин

Для каждой вершины треугольника $ABC$ ($A, B, C$) необходимо построить симметричную ей точку ($A_1, B_1, C_1$) относительно центра $A$. Точка $X_1$ симметрична точке $X$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $XX_1$.

Построение точки $A_1$: Так как точка $A$ является центром симметрии, ее симметричное отображение совпадает с ней самой. Таким образом, $A_1 = A$.

Построение точки $B_1$: Проведите прямую через точки $B$ и $A$. На этой прямой, по другую сторону от точки $A$, отложите отрезок $AB_1$, равный по длине отрезку $AB$. Это можно сделать с помощью циркуля, установив его раствор равным длине $AB$, поместив острие в точку $A$ и сделав засечку на прямой за точкой $A$. Точка $A$ будет серединой отрезка $BB_1$.

Построение точки $C_1$: Аналогично, проведите прямую через точки $C$ и $A$. На этой прямой, по другую сторону от точки $A$, отложите отрезок $AC_1$, равный по длине отрезку $AC$. Точка $A$ будет серединой отрезка $CC_1$.

Шаг 3. Построение искомого треугольника

Соедините отрезками полученные точки $A_1, B_1$ и $C_1$. Поскольку $A_1$ совпадает с $A$, новый треугольник будет $AB_1C_1$. Этот треугольник и является искомым треугольником $A_1B_1C_1$, симметричным треугольнику $ABC$ относительно вершины $A$.

Результат и свойства

Полученный треугольник $A_1B_1C_1$ (или $AB_1C_1$) равен (конгруэнтен) исходному треугольнику $ABC$. Это следует из свойств центральной симметрии, которая является движением и сохраняет расстояния между точками. Четырехугольник $BCB_1C_1$ является параллелограммом, поскольку его диагонали $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $A$ и делятся этой точкой пополам.