Номер 85, страница 295 - гдз по математике 6 класс учебник Герасимов, Пирютко

85. Постройте в тетради прямоугольник $ABCD$ и симметричный ему относительно:

a) вершины $B$;

б) точки $K$ — середины стороны $BC$.

Для решения этой задачи мы будем использовать центральную симметрию, также известную как симметрия относительно точки. Чтобы построить фигуру, симметричную данной относительно некой точки (центра симметрии), необходимо для каждой вершины исходной фигуры построить симметричную ей точку. Точка $M'$ называется симметричной точке $M$ относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $MM'$.

а) вершины B;

Чтобы построить прямоугольник, симметричный прямоугольнику $ABCD$ относительно вершины $B$, необходимо для каждой из вершин $A, B, C, D$ найти симметричную ей точку относительно $B$. Обозначим новый прямоугольник как $A'B'C'D'$.
1. Для вершины $A$ строим симметричную точку $A'$. Точка $B$ должна быть серединой отрезка $AA'$. Для этого продлеваем отрезок $AB$ за точку $B$ на расстояние, равное длине $AB$. Получаем $BA' = AB$.
2. Для вершины $B$ симметричной точкой является сама точка $B$, так как она является центром симметрии. Таким образом, $B' = B$.
3. Для вершины $C$ строим симметричную точку $C'$. Точка $B$ является серединой отрезка $CC'$. Для этого продлеваем отрезок $CB$ за точку $B$ на расстояние, равное длине $CB$. Получаем $BC' = CB$.
4. Для вершины $D$ строим симметричную точку $D'$. Точка $B$ является серединой отрезка $DD'$. Для этого проводим отрезок $DB$ и продлеваем его за точку $B$ на расстояние, равное длине $DB$. Получаем $BD' = DB$.
Соединив последовательно точки $A', B', C', D'$, мы получаем искомый прямоугольник $A'BC'D'$.
Ответ: Построенный прямоугольник $A'BC'D'$ равен исходному прямоугольнику $ABCD$ и имеет с ним одну общую вершину $B$.

б) точки K — середины стороны BC;

Чтобы построить прямоугольник, симметричный $ABCD$ относительно точки $K$ — середины стороны $BC$, необходимо для каждой вершины $A, B, C, D$ найти симметричную ей точку относительно $K$. Обозначим новый прямоугольник как $A''B''C''D''$.
1. Сначала находим точку $K$ как середину отрезка $BC$.
2. Для вершины $A$ строим симметричную точку $A''$. Точка $K$ должна быть серединой отрезка $AA''$.
3. Для вершины $B$ строим симметричную точку $B''$. Так как $K$ — это середина $BC$, то точка, симметричная $B$ относительно $K$, — это точка $C$. Таким образом, $B'' = C$.
4. Аналогично, для вершины $C$ симметричной точкой относительно $K$ будет точка $B$. Таким образом, $C'' = B$.
5. Для вершины $D$ строим симметричную точку $D''$. Точка $K$ будет серединой отрезка $DD''$.
Соединив точки $A'', B'', C'', D''$, мы получим искомый прямоугольник $A''B''C''D''$, который также можно обозначить как $A''CBD''$, чтобы отразить порядок вершин.
Ответ: Построенный прямоугольник $A''CBD''$ равен исходному прямоугольнику $ABCD$. Оба прямоугольника примыкают друг к другу по стороне $BC$ и вместе образуют новый, больший прямоугольник $ADD''A''$.