Номер 9, страница 49 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

9. Укажите верно записанную пропорцию.

Отношение семи к пятнадцати равно отношению четырнадцати к тридцати:

а) $ \frac{7}{15} = \frac{30}{14} $;

б) $ \frac{7}{15} = \frac{14}{30} $;

в) $ \frac{15}{14} = \frac{30}{7} $;

г) $ \frac{3}{4} = \frac{12}{9} $.

Пропорция — это равенство двух отношений. Чтобы найти верную пропорцию, переведем словесное описание в математическую форму.

• "Отношение семи к пятнадцати" записывается как дробь $ \frac{7}{15} $.
• "Отношение четырнадцати к тридцати" записывается как дробь $ \frac{14}{30} $.

Следовательно, верная пропорция, составленная по условию задачи, должна выглядеть так: $ \frac{7}{15} = \frac{14}{30} $.

Теперь проанализируем каждый из предложенных вариантов. Верность пропорции вида $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $ можно проверить с помощью основного свойства пропорции: произведение крайних членов равно произведению средних, то есть $ a \cdot d = b \cdot c $.

а) $ \frac{7}{15} = \frac{30}{14} $
Проверим равенство с помощью перекрестного умножения: $ 7 \cdot 14 = 98 $ и $ 15 \cdot 30 = 450 $.
Поскольку $ 98 \neq 450 $, данная пропорция неверна. Дробь $ \frac{30}{14} $ является неправильной, выделим целую часть: $ \frac{30}{14} = \mathbf{2}\frac{2}{14} = \mathbf{2}\frac{1}{7} $.
Ответ: неверно.

б) $ \frac{7}{15} = \frac{14}{30} $
Эта запись соответствует пропорции, полученной из условия. Проверим её верность двумя способами.
1. Перекрестное умножение: $ 7 \cdot 30 = 210 $ и $ 15 \cdot 14 = 210 $. Так как $ 210 = 210 $, пропорция верна.
2. Сокращение дроби: Сократим правую часть $ \frac{14}{30} $, разделив числитель и знаменатель на 2: $ \frac{14 \div 2}{30 \div 2} = \frac{7}{15} $. Получаем тождество $ \frac{7}{15} = \frac{7}{15} $, что подтверждает верность пропорции.
Ответ: верно.

в) $ \frac{15}{14} = \frac{30}{7} $
Проверим равенство с помощью перекрестного умножения: $ 15 \cdot 7 = 105 $ и $ 14 \cdot 30 = 420 $.
Поскольку $ 105 \neq 420 $, данная пропорция неверна. Обе дроби в этой записи являются неправильными: $ \frac{15}{14} = \mathbf{1}\frac{1}{14} $ и $ \frac{30}{7} = \mathbf{4}\frac{2}{7} $.
Ответ: неверно.

г) $ \frac{3}{4} = \frac{12}{9} $
Эта пропорция использует числа, не упомянутые в условии задачи. Проверим её верность: $ 3 \cdot 9 = 27 $ и $ 4 \cdot 12 = 48 $.
Поскольку $ 27 \neq 48 $, данная пропорция неверна. Дробь $ \frac{12}{9} $ является неправильной: $ \frac{12}{9} = \mathbf{1}\frac{3}{9} = \mathbf{1}\frac{1}{3} $.
Ответ: неверно.

Таким образом, единственная верно записанная пропорция, соответствующая условию, — это вариант б).