Номер 32, страница 95 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

32. Фирма подсчитывала результаты работы в течение нескольких дней, и оказалось, что каждые три дня наблюдалась прибыль. Может ли быть так, что за 31 день фирма окажется в убытке?

Да, такая ситуация возможна. Чтобы это доказать, достаточно привести конкретный пример.

Пусть $P_i$ — это финансовый результат (прибыль или убыток) фирмы за $i$-й день. Прибыль — это положительное число, убыток — отрицательное.

Условие "каждые три дня наблюдалась прибыль" означает, что сумма результатов за любые три последовательных дня положительна: $P_i + P_{i+1} + P_{i+2} > 0$ для всех $i$ от 1 до 29.

Мы хотим проверить, может ли общая сумма за 31 день быть отрицательной, то есть может ли выполняться неравенство $\sum_{i=1}^{31} P_i < 0$.

Рассмотрим следующий пример финансовых результатов, которые повторяются с периодом в три дня. Пусть в первый день каждого трехдневного цикла фирма несет убыток в 11 условных единиц, во второй день получает прибыль в 12 у.е., а на третий день результат нулевой. То есть, последовательность результатов $(P_1, P_2, P_3, \dots)$ выглядит так:

$(-11, 12, 0, -11, 12, 0, -11, \dots)$

Проверим выполнение условия о прибыли за каждые три дня:

• Сумма за дни с 1 по 3: $-11 + 12 + 0 = 1 > 0$.
• Сумма за дни с 2 по 4: $12 + 0 + (-11) = 1 > 0$.
• Сумма за дни с 3 по 5: $0 + (-11) + 12 = 1 > 0$.

Так как последовательность периодическая, сумма за любые три последовательных дня будет равна 1, что больше нуля. Таким образом, условие задачи выполняется.

Теперь посчитаем общий финансовый результат за 31 день. В 31-дневном периоде будет:

• 11 дней с убытком -11 (дни 1, 4, 7, ..., 28, 31).
• 10 дней с прибылью 12 (дни 2, 5, 8, ..., 29).
• 10 дней с нулевым результатом (дни 3, 6, 9, ..., 30).

Общая сумма (общий финансовый результат) за 31 день будет равна:

$S_{31} = 11 \times (-11) + 10 \times 12 + 10 \times 0 = -121 + 120 + 0 = -1$

Поскольку общая сумма равна -1, она отрицательна. Это означает, что по итогам 31 дня фирма оказалась в убытке.

Таким образом, ситуация, описанная в задаче, возможна.