Номер 36, страница 95 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

36. Можно ли заполнить все ячейки, если известно, что каждое число в строчке, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих? Если возможно, то заполните все ячейки.

Правило: $x_n = x_{n-1} + x_{n-2}$

Да, заполнить все ячейки возможно.

Обозначим числа в ячейках как члены последовательности $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_{11}$. По условию, каждое число, начиная с третьего, равняется сумме двух предыдущих. Это правило описывается формулой для последовательностей фибоначчиевского типа: $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$ для $n \ge 3$.

Нам известны восьмой и девятый члены последовательности: $a_8 = 2$ и $a_9 = 0$.

Сначала найдем числа, стоящие справа от известных. Для этого будем использовать формулу $a_n = a_{n-1} + a_{n-2}$:

• Вычисление $a_{10}$: $a_{10} = a_9 + a_8 = 0 + 2 = 2$. Ответ: 2
• Вычисление $a_{11}$: $a_{11} = a_{10} + a_9 = 2 + 0 = 2$. Ответ: 2

Теперь найдем числа, стоящие слева от известных. Для этого преобразуем исходную формулу, чтобы выразить предыдущий член через два последующих: $a_{n-2} = a_n - a_{n-1}$. Будем двигаться справа налево.

• Вычисление $a_7$: $a_7 = a_9 - a_8 = 0 - 2 = -2$. Ответ: -2
• Вычисление $a_6$: $a_6 = a_8 - a_7 = 2 - (-2) = 2 + 2 = 4$. Ответ: 4
• Вычисление $a_5$: $a_5 = a_7 - a_6 = -2 - 4 = -6$. Ответ: -6
• Вычисление $a_4$: $a_4 = a_6 - a_5 = 4 - (-6) = 4 + 6 = 10$. Ответ: 10
• Вычисление $a_3$: $a_3 = a_5 - a_4 = -6 - 10 = -16$. Ответ: -16
• Вычисление $a_2$: $a_2 = a_4 - a_3 = 10 - (-16) = 10 + 16 = 26$. Ответ: 26
• Вычисление $a_1$: $a_1 = a_3 - a_2 = -16 - 26 = -42$. Ответ: -42

Итоговая заполненная строка выглядит следующим образом: