Номер 34, страница 95 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

34. Заполните ячейки таблицы в тетради целыми числами, такими, чтобы суммы их в каждом столбце, каждой строке и по диагонали были равными.

Эта задача заключается в построении так называемого магического квадрата размером 3x3. В магическом квадрате суммы чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих главных диагоналях должны быть одинаковыми. Эта сумма называется магической константой.

Существует бесконечное множество решений с использованием различных целых чисел. Самый известный и простой пример — это магический квадрат, построенный с использованием чисел от 1 до 9.

1. Нахождение магической константы

Сначала найдем сумму всех чисел, которые мы будем использовать (от 1 до 9):
$S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \frac{9 \times (9+1)}{2} = 45$

Поскольку в квадрате 3 строки, и сумма чисел в каждой из них должна быть одинаковой, то магическая константа (M) будет равна общей сумме, деленной на 3:
$M = \frac{45}{3} = 15$

Итак, сумма чисел в каждой строке, столбце и диагонали должна быть равна 15.

2. Построение магического квадрата

• В магическом квадрате 3x3 центральная ячейка всегда равна среднему арифметическому всех чисел. В нашем случае это $45 \div 9 = 5$. Поместим 5 в центр таблицы.
• Теперь остальные числа можно сгруппировать в пары, сумма которых равна $15 - 5 = 10$. Это пары: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6). Эти пары чисел должны располагаться в ячейках, симметричных относительно центра.
• Разместим в углах четные числа (2, 4, 6, 8). Например, поставим 2 в левый верхний угол. Тогда в противоположном (правом нижнем) углу должно стоять число 8, так как $2+8=10$.
• Поставим число 4 в правый верхний угол. Тогда в противоположном (левом нижнем) углу должно стоять число 6, так как $4+6=10$.

На этом этапе таблица выглядит так:

• Теперь заполним оставшиеся ячейки, помня, что сумма в каждой строке и столбце равна 15.
  • Верхняя строка: $2 + x + 4 = 15 \Rightarrow x = 9$.
  • Левый столбец: $2 + y + 6 = 15 \Rightarrow y = 7$.
  • Правый столбец: $4 + z + 8 = 15 \Rightarrow z = 3$.
  • Нижняя строка: $6 + w + 8 = 15 \Rightarrow w = 1$.

3. Итоговая таблица

В результате мы получаем следующий заполненный магический квадрат:

4. Проверка

• Суммы по строкам:
  $2 + 9 + 4 = 15$
  $7 + 5 + 3 = 15$
  $6 + 1 + 8 = 15$
• Суммы по столбцам:
  $2 + 7 + 6 = 15$
  $9 + 5 + 1 = 15$
  $4 + 3 + 8 = 15$
• Суммы по диагоналям:
  $2 + 5 + 8 = 15$
  $4 + 5 + 6 = 15$

Все суммы равны 15, следовательно, таблица заполнена верно.

Примечание: Это лишь один из возможных вариантов. Существуют и другие магические квадраты, например, с использованием отрицательных чисел или с другой магической константой.