Номер 23, страница 105 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

23. Цена входного билета на стадион составляет 20 р. После снижения входной платы число зрителей увеличилось на $25\%$, а выручка возросла на $12,5\%$. Сколько стал стоить входной билет после снижения цены?

Для решения задачи введем переменные:

• $P_1$ — первоначальная цена билета ($P_1 = 20$ р.).
• $N_1$ — первоначальное число зрителей.
• $V_1$ — первоначальная выручка, $V_1 = P_1 \cdot N_1$.
• $P_2$ — новая цена билета после снижения.
• $N_2$ — новое число зрителей.
• $V_2$ — новая выручка, $V_2 = P_2 \cdot N_2$.

По условию задачи, после снижения цены число зрителей увеличилось на 25%. Это означает, что новое число зрителей $N_2$ составляет 125% от первоначального $N_1$:

$N_2 = N_1 + 0,25 \cdot N_1 = 1,25 \cdot N_1$

Выручка возросла на 12,5%. Это означает, что новая выручка $V_2$ составляет 112,5% от первоначальной $V_1$:

$V_2 = V_1 + 0,125 \cdot V_1 = 1,125 \cdot V_1$

Мы знаем, что выручка равна произведению цены билета на количество зрителей. Составим уравнение, подставив известные значения и соотношения:

$V_2 = P_2 \cdot N_2$

$1,125 \cdot V_1 = P_2 \cdot (1,25 \cdot N_1)$

Теперь заменим первоначальную выручку $V_1$ на произведение $P_1 \cdot N_1$ (где $P_1 = 20$):

$1,125 \cdot (20 \cdot N_1) = P_2 \cdot (1,25 \cdot N_1)$

Поскольку первоначальное число зрителей $N_1$ не равно нулю, мы можем сократить обе части уравнения на $N_1$:

$1,125 \cdot 20 = P_2 \cdot 1,25$

Вычислим левую часть:

$22,5 = P_2 \cdot 1,25$

Теперь найдем новую цену $P_2$:

$P_2 = \frac{22,5}{1,25}$

Чтобы упростить деление, умножим числитель и знаменатель на 100:

$P_2 = \frac{2250}{125} = 18$

Сколько стал стоить входной билет после снижения цены? Ответ: 18 рублей.