Номер 19, страница 132 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

19. На координатной плоскости постройте прямую, проходящую через точки $A(-1; 2)$ и $B(1; -3)$.

Чтобы построить прямую, проходящую через точки $A(-1; 2)$ и $B(1; -3)$, сначала найдем уравнение этой прямой, а затем опишем процесс построения.

1. Нахождение уравнения прямой

Уравнение прямой в общем виде записывается как $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент (тангенс угла наклона прямой к оси $Ox$), а $b$ – ордината точки пересечения прямой с осью $Oy$.

Поскольку прямая проходит через точки A и B, их координаты должны удовлетворять уравнению прямой. Подставим координаты точек в уравнение $y = kx + b$ и получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

• Для точки $A(-1; 2)$: $2 = k \cdot (-1) + b \implies 2 = -k + b$
• Для точки $B(1; -3)$: $-3 = k \cdot 1 + b \implies -3 = k + b$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} 2 = -k + b \\ -3 = k + b \end{cases}$

Решим эту систему. Удобно сложить оба уравнения, чтобы избавиться от переменной $k$:

$(2) + (-3) = (-k + b) + (k + b)$

$-1 = 2b$

$b = -\frac{1}{2}$

Теперь, зная $b$, найдем $k$, подставив значение $b$ в любое из исходных уравнений, например, во второе:

$-3 = k + (-\frac{1}{2})$

$k = -3 + \frac{1}{2}$

$k = -\frac{6}{2} + \frac{1}{2} = -\frac{5}{2}$

Таким образом, уравнение искомой прямой: $y = -\frac{5}{2}x - \frac{1}{2}$.

2. Построение прямой на координатной плоскости

Для построения прямой на координатной плоскости достаточно двух точек, через которые она проходит.

1. Начертите координатную плоскость: ось абсцисс ($Ox$) и ось ординат ($Oy$), пересекающиеся в начале координат $O(0,0)$.
2. Отметьте точку $A(-1; 2)$. Для этого от начала координат двигайтесь на 1 единицу влево по оси $Ox$ и на 2 единицы вверх по оси $Oy$.
3. Отметьте точку $B(1; -3)$. Для этого от начала координат двигайтесь на 1 единицу вправо по оси $Ox$ и на 3 единицы вниз по оси $Oy$.
4. Используя линейку, проведите прямую линию, которая проходит через обе отмеченные точки $A$ и $B$. Эта линия и есть искомая прямая.

Угловой коэффициент $k = -\frac{5}{2}$ является отрицательным, что означает, что прямая убывает (наклонена вниз при движении слева направо). Прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0, -\frac{1}{2})$, что соответствует найденному значению $b$.

Ответ: Для построения прямой необходимо на координатной плоскости отметить точки $A(-1; 2)$ и $B(1; -3)$ и соединить их прямой линией. Уравнение этой прямой, с выделенной целой частью в коэффициенте, имеет вид: $y = \mathbf{-2}\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}$.