Номер 20, страница 132 - гдз по математике 6 класс сборник задач Пирютко, Терешко

20. Координаты трёх вершин треугольника $A(3; 2)$, $B(-4; 1)$ и $C(1; 6):$

а) начертите этот треугольник;

б) определите координаты точки пересечения стороны этого треугольника с осью ординат.

а) начертите этот треугольник;

Для построения треугольника ABC на координатной плоскости отметим его вершины по заданным координатам: A(3; 2), B(-4; 1) и C(1; 6). Затем соединим эти точки отрезками, чтобы получить стороны треугольника AB, BC и AC.

Ответ: Графическое изображение треугольника представлено выше.

б) определите координаты точки пересечения стороны этого треугольника с осью ординат.

Ось ординат (ось Y) задается уравнением $x=0$. Чтобы найти точки пересечения сторон треугольника с этой осью, необходимо составить уравнения прямых, содержащих эти стороны, и подставить в них значение $x=0$.

Общее уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид:

$\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$

1. Сторона AB
Найдем уравнение прямой для точек A(3; 2) и B(-4; 1):
$\frac{x - 3}{-4 - 3} = \frac{y - 2}{1 - 2} \implies \frac{x - 3}{-7} = \frac{y - 2}{-1}$
$x - 3 = 7(y - 2) \implies x - 3 = 7y - 14 \implies 7y = x + 11 \implies y = \frac{1}{7}x + \frac{11}{7}$
При $x=0$, получаем $y = \frac{11}{7}$.
Точка пересечения $(0; \frac{11}{7})$. Так как абсцисса $x=0$ лежит в диапазоне абсцисс вершин B и A (от -4 до 3), эта точка принадлежит отрезку AB.

2. Сторона BC
Найдем уравнение прямой для точек B(-4; 1) и C(1; 6):
$\frac{x - (-4)}{1 - (-4)} = \frac{y - 1}{6 - 1} \implies \frac{x + 4}{5} = \frac{y - 1}{5}$
$x + 4 = y - 1 \implies y = x + 5$
При $x=0$, получаем $y = 5$.
Точка пересечения $(0; 5)$. Так как абсцисса $x=0$ лежит в диапазоне абсцисс вершин B и C (от -4 до 1), эта точка принадлежит отрезку BC.

3. Сторона AC
Найдем уравнение прямой для точек A(3; 2) и C(1; 6):
$\frac{x - 3}{1 - 3} = \frac{y - 2}{6 - 2} \implies \frac{x - 3}{-2} = \frac{y - 2}{4}$
$2(x - 3) = -(y - 2) \implies 2x - 6 = -y + 2 \implies y = -2x + 8$
При $x=0$, получаем $y = 8$.
Точка пересечения прямой с осью Y — $(0; 8)$. Однако, абсцисса $x=0$ не лежит в диапазоне абсцисс вершин A и C (от 1 до 3). Следовательно, отрезок AC не пересекает ось ординат.

Таким образом, стороны треугольника пересекают ось ординат в двух точках.

Ответ: Координаты точек пересечения: $(0; 5)$ и $(0; \mathbf{1}\frac{4}{7})$.